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“線性回歸直線”的教學(xué)思考
“線性回歸直線”的教學(xué)思考重慶市復(fù)旦中學(xué) 袁 亮
一、問題的提出
在新課標(biāo)教材《數(shù)學(xué)3（必修）》第二章統(tǒng)計(jì)第三小節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系課本中介紹了用每個(gè)樣本點(diǎn)與線性回歸直線對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的平方和最小來刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的距離最小”，并用最小二乘法推導(dǎo)出線性回歸方程的斜率與縱截距。
在刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的距離最小”中新課標(biāo)教材《數(shù)學(xué)3（必修）》給出了另外三種方式。但是在選擇上沒有給出任何關(guān)于哪樣的程度是可靠性強(qiáng)及合理的解釋，就直接選取了每個(gè)樣本點(diǎn)與線性回歸直線對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的平方和最小來刻畫。
那么上述三種方式模擬出的直線是怎樣的形式，以及怎樣的程度才是比較合理的和可靠性強(qiáng)的？
二、討論與分析
以新課標(biāo)教材探究中人體脂肪含量和年齡關(guān)系為例
如果我們只用除去最后一個(gè)數(shù)據(jù)即點(diǎn)（61，34，6）來用最小二乘法擬合回歸直線，則可計(jì)算得到回歸方程為y=0.5775x-0.4854，如果代入61年齡檢驗(yàn)可得到y(tǒng)=34.74，與樣本中所采集的數(shù)據(jù)34.6之間的偏差為0.14。
2.1教材所提供的其他三種方式擬合回歸直線。
2.1.1各點(diǎn)到直線距離和最小來擬合回歸直線。
我們把“各點(diǎn)到直線距離和最小來擬合回歸直線”記作方法一。
把我們所獲得的組數(shù)據(jù)（最后一組數(shù)據(jù)用來檢驗(yàn)回歸直線的擬合情況用），記為：
通過利用LINGO軟件編程可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算出Q（a,b）最小時(shí)的a，b，進(jìn)而得到此法下擬合的回歸直線方程為y=0.6x-2.2，如果代入最后一點(diǎn)的數(shù)據(jù)61檢驗(yàn)可得到y(tǒng)=34.4，與樣本中所采集的數(shù)據(jù)34.6之間的偏差為-0.2。
2.1.2直線兩側(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)基本相同來擬合回歸直線。
我們把“直線兩側(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)基本相同來擬合回歸直線”記作方法二。
可以想到如果把13這組數(shù)據(jù)描繪成散點(diǎn)圖，然后用一條斜向下的直線去分割數(shù)量得到的直線肯定不合適；所以我們還是用和數(shù)據(jù)走勢一致的直線去擬合回歸直線，同時(shí)也很容易想到這樣的直線不定。
通過散點(diǎn)圖的觀察和計(jì)算13組數(shù)據(jù)所構(gòu)成點(diǎn)的坐標(biāo)與原點(diǎn)的斜率可以看出斜率變化不大，因而我們用過原點(diǎn)的直線去擬合回歸直線并讓直線兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)基本相同，根據(jù)斜率大小找到回歸直線方程為y=0.5639x，如果代入最后一個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)61檢驗(yàn)可得到y(tǒng)=34.3979，與樣本中所采集的數(shù)據(jù)34.6之間的偏差為-0.2021。
2.1.3用多條直線的斜率、縱截距平均數(shù)來表示回歸直線。
我們把“用多條直線的斜率、縱截距平均數(shù)來表示回歸直線”記作方法三。
不難想到這多條直線的選取應(yīng)該根據(jù)樣本點(diǎn)的走勢來看，同時(shí)可以想到這種方法去擬合的直線不定。
根據(jù)樣本描繪的散點(diǎn)圖選擇了多組與整體走勢相近的7組點(diǎn)得到直線的斜率和縱截距，然后用斜率、縱截距的平均值作為回歸直線的斜率和縱截距，從而得到的擬合回歸直線方程為y=0.639x-2.5534，如果代入最后一個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)61檢驗(yàn)可得到y(tǒng)=36.43，與樣本中所采集的數(shù)據(jù)34.6之間的偏差為1.827。
2.2比較上述的四種方法擬合的回歸直線的特點(diǎn)。
首先說到方法一，這是最容易想到的，同時(shí)也是最讓人接受的方法，在實(shí)際教學(xué)過程中很多學(xué)生都會問到這個(gè)方法為什么教材直接就否定了而采用“最小二乘法”，即利用各個(gè)樣本點(diǎn)與回歸直線偏差的平方和來擬合，且從圖形中也可以看到，點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的偏差“等價(jià)”，兩者之間差一個(gè)系數(shù)而已。
其實(shí)兩個(gè)方法之間的確有差異，雖然看起兩者只差一個(gè)系數(shù)，但是這個(gè)數(shù)卻與回歸直線的斜率有關(guān)，即在確定直線之前是一個(gè)變量。再有比較兩種方法可以看到利用“最小二乘法”得到的估計(jì)值比較接近實(shí)際測量值。
其次說到方法二和方法三，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生很容易想到這兩個(gè)方法使用起來一不方便，二這兩個(gè)方法所確定的直線不唯一也就不好判定誰具有最佳的擬合程度。而且從剛才利用兩個(gè)方法擬合到的直線也可以看出與實(shí)際測量值的差距比較大。
2.3最小二乘法的特點(diǎn)。
追溯最小二乘法的歷史可以知道早在1806年法國科學(xué)家勒讓德獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，并成功的讓高斯通過統(tǒng)計(jì)40天的谷神星的觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到了谷神星的軌跡。從這點(diǎn)來說最小二乘法不僅可以很好的擬合兩個(gè)變量的直線形式，而且還可以擬合兩個(gè)變量的曲線形式。
不過任何方法都有其缺點(diǎn)，利用最小二乘法擬合直線時(shí)對兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)要求比較高，要使得數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差滿足正態(tài)分布，同時(shí)也可以驗(yàn)證當(dāng)樣本點(diǎn)中出現(xiàn)了異常點(diǎn)時(shí)，用最小二乘法擬合得到的直線則誤差較大。
三、結(jié)束語
在比較了最小二乘法與其他的方法擬合回歸直線的優(yōu)缺點(diǎn)后，可以讓學(xué)生更好的體會到最小二乘法的優(yōu)越性和必要性，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加自然；而且回顧最小二乘法的歷史也讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的魅力。
再者在新課程的教學(xué)背景下，從教材的編排中可以看出，現(xiàn)在教學(xué)更需要注重知識的實(shí)用性和過程性，不僅要求學(xué)生要知道怎樣去用，更要明白為什么可以這么用。
【參考文獻(xiàn)】
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