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論數學開放題
論數學開放題
有人說“問題是數學的心臟”、“問題解決是數學教學的核心”，這是數學題重要性的體現。數學題的特征決定了它的功能，進而決定了它的教育價值。作為數學教師，主動接受建構主義教學理論的指導，研究數學開放題，構建數學開放題及其教學模式并用之于數學教學是對學生進行素質教育的一種有效途徑。
事實上，我國的數學教育者，在“一題多解”、“一題多變”的教學中早就有許多好的經驗。但這并不等同于開放題的教學。
一、 數學開放題的特征
根據戴再平的研究，數學開放題一般具有以下特征：
1． 所提的問題常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解題。
2． 沒有現成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發現，但是在求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。
3． 有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過程中主體的認知結構的重建。
4． 常常通過實際問題提出，主體必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型。
5． 在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般，更有概括性的結論。
6． 能激起多數學生的好奇心，全體學生都可以參與解答過程，而不管他是屬于何種程度和水平。
7． 教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發者、鼓勵者和指導者。
二、數學開放題的分類與設計策略
1、對數學開放題的分類，從構成數學題系統的四要素（條件、依據、方法、結論）出發，定性地可分成四類；如果尋求的答案是數學題的條件，則稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據或方法，則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結論，則稱為結論開放題；如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情景中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題。
（一）條件開放題，即未知的要素是條件。例如，在北師大版七年級（下）的概率教學中有這樣一個問題：（P108試一試）用10個球設計一種摸球游戲，使摸到紅球的概率為
（二）結論開放，即未知的要素是判斷。例2、如圖1，
和AC邊上，且BD=2DC，CE=2EA，AD與BE
相交于G，試就有關圖形的形狀、大小和關
系得出盡可能多的結論。（解略）學生從有
關的角邊關系式，面積的關系式等可以得到
不下幾十種的結論。其思維的多向性、靈活性
顯露得淋漓盡致，學生不但可以鞏固知識，培
養技能，而且更可以有表現自己的創造力的機會。
（三）策略開放，即未知的要素是推理。例3：①若有兩張長方形的桌子，把它們拼成一張長方形桌子，有幾種拼法？（兩種，如圖2、3）。
圖3
圖2
②一張桌子可坐6個人，若按圖2方式擺放，2張桌子可坐 人。③按圖2方式繼續擺放桌子，完成下表：
桌子
張數
3
4
5
6
……
n
可坐
人數
先讓學生把表格中的前4項填好，之后再討論n張桌子可坐幾人？
學生可以從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子無論增加幾張，左右兩側始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側都可坐4人，故有（4n+2）人；③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每兩張桌子重合的2人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。這一系列問題的設計給學生的不同見解留下了足夠的空間，學生可以在自己原有的知識結構中進行同化，多角度、多方位地去尋找解題策略。
2、從開放題答案的開口情況出發，數學開放題可以定量地分成三類：弱開放題──答案情況（包括可能情況）只有兩種的開放題；中開放題──答案情況（包括可能情況）超過兩種，但為數目確定的有限種；強開放題──只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數難以確定的開放題
三、數學開放題的功能
美國加利福尼亞州教育部于1989年指出了開放性問題的五個功能：
1． 為學生提供了自己進行思考并用他們自己的數學觀是來表達的機會，這和他們的數學發展是一致的。
2． 要求構建他們自己的反映，而不是選擇一個簡單的答案。
3． 允許學生表達他們對問題的深層次的理解，這在多項選擇中是無法做到的。
4． 鼓勵學生用不同的方法來解決問題，反過來提示老師用不同的方法解釋數學概念。
5． 開放性問題的模式是數學課堂教學的基本成份。
我國的數學教育工作者經過教學試驗和理論研究，認為數學開放題有以下幾方面的作用：
1．開放題能引起學生認知的不平衡，為學生主動選擇信息，超越所給定的信息留下了充分的余地，有利于完善學生的認知結構。
2．開放題由于具有結果開放、方法開放、思路開放等特點，能有效地反映高層次思維，為高層次思維創造條件，因而能更好地培養學生獨立思考和探索精神，培養學生創造意識與能力。
3．開放題有助于培養學生對數學的積極態度，調動學生學習的積極性，提高平常數學成績較差學生的數學學習興趣，幫助學生體驗智力活動的歡樂，體驗數學學科的靈感。
4．開放題是挖掘、提煉數學思想方法，充分展示應用數學思想方法的良好載體，使每個學生的數學才能在自己的基礎上有一個最大的發展，體現受教育者公平和人人有份的原則。
5．開放性問題的研究和教學，有利于教師轉變教育觀念，激發教育熱情，擺脫一種淺層次的教學循環，體現教師自身的生命活力。
四、數學開放題對數學教學的意義
數學開放題作為一種教學思想反映在以下幾個方面：
1．數學開放題強調了數學知識的整體性。封閉式的例題——習題式的數學教學僅停留在分類介紹技巧和方法的水平，指向知識、技能、原理和它們的適用性，往往會導致學生對某個結論或方法的記憶；重視的是學生計算、演繹等嚴格推理的能力，忽視的是培養學生的數學實踐，尋找相似性等非形式推理的能力。我們嘉興市2005年中考試題中用相似扇形來考查學生對相似形的最基礎的有關知識，而不是通常的用相似三角形，許多學生就不知所云，即證明了這一點。而數學題開放作為一種教學思想把數學教學作為一個互相聯系的有機整體，使學生在數學上得到全面的培養。
2．數學開放題強調了數學教學的思維性。封閉的數學題教學面向事實性的知識和程序性的技能而不是強調高層次的技能，而數學開放題作為一個教學思想強調反映學生高層次的能力和開放性、創造性的思維。學生在解答開放題的過程中，以已有認知結構為基礎，對問題作出富有個人意義的解釋和理解，經歷一個從現實條件到用數學語言表述的數學化過程，不斷檢索或修正、提出解題設想并嘗試解決問題。開放性數學題有利于培養學生關鍵性思考，應用知識和解決問題，讓學生進行數學地思維，更好地培養學生的創新思維能力。
3．數學開放題強調解決問題的過程。數學開放題教學與封閉的數學題教學的另一不同點是側重學生解決問題的思路和策略而不是問題的答案，側重學生獲得解答的過程。因為在數學教學中，不僅要注意其產物，而且要注意其過程，注意對學生解決問題的思路的分析。
4．數學開放題強調了學生在教學活動中的主體作用。在數學學習中，學生會表現出各種不同的特點，對同一數學問題的理解會有不同側面深刻程度上的差異，具有強烈的個性特質。數學開放題把數學教學建立在以學生的學習基礎之上，更能反映出學生的主動性和創造性，反映出學生的主體作用，有利于改變以教師為中心的教學方法。
5．數學開放題有利于提高學生學習的積極性，提高學習的內在動力。數學開放題提供學生以一種數學活動，在活動中展示和提高自己的數學才能，在活動中交流體會，增強主體意識，在解決問題的過程中感受到數學的美感和解決問題的有趣，全體學生都會有收獲，特別有利于調動數學成績較差學生的學習興趣，讓每個學生都有進步。
參考文獻：
1. M.尼斯 《論數學教師的培養》, 上海：華東師大 數學教學 1994 （6）.
2. 余致甫主編 《,數學教育學概論》，華東化工學院出版社，1990.
3. 戴再平《數學習題理論》，上海:上海教育出版社，1996
4. 曹才翰，章建躍，《數學教育心理學》，北京：北京師范大學出版社，1999
5. 張奠宙等《數學教育研究導引》，江蘇：江蘇教育出版社，1998
6. 張奠宙《數學教育的全球化、開放化、信息化》 上海：數學教學98（5）
7. 孫企平、黃毅英《開放性問題對數學教學的意義》，上海：數學教學1999
8. 錢從新《有關開放題的幾點探討》，北京：數學通報，1999（11）
9. 顧泠沅《有效地改進學生的學習》，北京：數學通報，2000（1）、（2）
10. 王琦《從高考新題型---開放題引起的思考》，北京：數學通報1999
11. 王珍《論數學教學中的問題設計》，浙江：中學教研2005（4）
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