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基本作圖
基本作圖
教學目標
1．熟練運用尺規完成四種基本作圖，并會寫出已知、求作和作法．
2．培養學生準確的數學語言表達能力．
教學重點和難點
重點是掌握四種基本作圖；難點是用準確精練的幾何語言敘述作圖過程．
教學過程設計
一、作圖的預備知識
1．明確尺規作圖和基本作圖的含義．
教師應著重強調尺規作圖與以前畫圖的區別，如解釋以前角平分線，垂線、平行線的畫法為什么不符合尺規作圖的要求．
2．常用的作圖語句的練習．
(1)如圖1(a)，平面上有三點A，B，C，按下列要求完成作圖：
①過點A，點B作直線AB(簡稱“作直線AB”)；
②作射線CA；
③延長BC到D，使 CD=BC；
④在線段BA上截取BH=BC；
⑤連結兩點H，C(簡稱“連結HC”)．
答案見圖1(b)．
(2)如圖1(c)，按下列要求完成作圖：
①以點D為圓心，AD為半徑作弧交DC于E；
②分別以點B，C為圓心，DC為半徑作弧，兩弧交于點F，G．
以上為七種基本語句．
二、思考并實現四種基本作圖
1．作一個角等于已知角．
(1)教師帶領學生分析標題，分清已知、求作，并用數學符號表示．注意“求作”中先寫出作什么圖形，再寫出它所需滿足的條件．
已知∠AOB(如圖2(a))．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．
(2)教師應啟發學生思考作圖的實現過程，注意以下幾點：
①思路：利用全等三角形的判定方法來實現作圖過程，將∠AOB放到△COD中(如圖2(b))，利用“SAS”公理作出與△COD全等的△C′O′D′，從而得
到∠A′O′B′=∠AOB(如圖2(c))．
②為簡化作圖過程，便于操作，可取△COD為等腰三角形，即在∠AOB的兩邊上截取OC=OD．更進一步地，可改造成尺規作圖的語言，引導學生用簡練的作圖語句準確描述作圖的實施過程．
(3)按照課本作法作圖并證明．證明時要注意作圖的作法中提供的邊的條件．
以下幾種基本作圖都可仿照此步驟處理．
2．平分已知角．
已知：∠AOB(如圖3)．
求作：∠AOB內部的射線OC，使∠AOC=∠COB．
(1)教師重點分析作法是怎樣想出來的．
①借鑒基本作圖Ⅰ的思路，畫出符合條件的示意圖，分析如何構造以∠AOC，
∠COB為元素的兩個全等三角形．
答：用“SSS”構造△ODF與△OEF，其中OD=OE，F在OC上，DF=EF．
②分析如何用作圖實現以上過程：
要使OD=OE，以O為圓心任意長為半徑作弧即可；要確定∠AOB上一點F，使DF=EF，只要分別以D，E為圓心，特定長a為半徑作弧，注意為保證兩弧能有
(2)讓學生整理思路，按課本作法作圖并證明．
練習1 作平角∠AOB的平分線OC，并回答OC與直線AB有何關系？
練習2 如圖4，已知：鈍角∠MCN．
①求作∠MCN的平分線CF；
②在學生畫出圖4的基礎上，求證ED⊥CF，CF平分DE．
3．經過一點作已知直線的垂線．
已知直線AB和一點C，求作AB的垂線，使它過點C．
注意以下幾點：
(1)分析標題時，引導學生自發討論已知點C與已知直線AB的位置關系(兩種情況)．
(2)對于點C在直線AB上的情況，引導學生將新問題化歸為已知情況——過直線AB上一點C平分平角∠ACB．
(3)當點C不在直線AB上時，引導學生由練習2的作法和證明結論來提煉出本題的作圖方法：先確定D，E兩點(注意書上選取K點的作用)，再確定F點(找F時所作弧的半徑有特定條件)．
4．作線段的垂直平分線．
重點分析基本作圖4與練習2的關系．
分析圖4中的結論：CF垂直平分DE，要作DE的垂直平分線CF，只需確
三、四種基本作圖的變式和復合練習
例1 用尺規按下列要求作圖．(不寫作法只畫圖)
(1)如圖5，在∠AOD的內部作射線OB，使∠AOB=∠COD．
(2)作一個角的余角．
(3)把線段AB四等分．
(4)如圖6，在鈍角△ABC中，∠ABC為鈍角．求作：
①△ABC中∠ACB的平分線CD；
②△ABC中BC邊上的高AH；
③AC邊的中垂線EF；
④AB邊上的中線CG．
(5)如圖7，已知直線AB和AB外一點C．求作：過C的直線CD∥AB．(提示：過C作直線l交AB于點E，在點C處作∠CEB的同位角(或內錯角)，使它等
于∠CEB．)
四、師生共同小結
1．目前已學過的五種基本作圖；
2．幾種常用的作圖語句；
3．尺規作圖的基本步驟；
4．以后作圖中再遇到五種基本作圖時，不必再重復作圖的詳細過程，只需給出標題，如作線段的垂直平分線”．
五、作業(略)
課堂教學設計說明
本教學設計需2課時完成．
1．為了分散難點，便于學生用語言準確敘述本節課的基本作圖，教師設計了預備知識這一部分，目的是讓學生熟悉所要用到的常用作圖語句，以及讓學生自己分析思考如何用這些語句來解決本節的基本作圖．
2．基本作圖的分析過程要教給學生分析的方法，逐層實現目的，并要揭示四個基本作圖分別“怎樣想出來”和“為什么這樣想”的思維過程，變學生“被動接受”為“主動探索發現”，更好地理解和掌握四種基本作圖．
3．教師根據課時情況，可將第三部分的基本作圖的部分練習題(如例1(1)，(4)①)插到基本作圖1，2后．
4．本課在基本作圖2后面設計了兩個練習，目的是既鞏固基本作圖2的各種變式情況下的作圖，又為基本作圖3，4啟發思路．實質上，作角平分線與作垂線和中垂線的方法相類似．
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