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下學期 4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質3
4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第三課時）
（一）教學具準備
直尺、投影儀．
（二）教學目標
1．理解 ， 的周期性概念，會求周期．
2．初步掌握用定義證明 的周期為 的一般格式．
（三）教學過程
1．設置情境
自然界里存在著許多周而復始的現象，如地球的自轉和公轉，物理學中的單擺運動和彈簧振動、圓周運動等．數學里從正弦函數、余弦函數的定義可知，角 的終邊每轉一周又會與原來的位置重合，故 ， 的值也具有周而復始的變化規律．為定量描述這種周而復始的變化規律，今天，我們來學習一個新的數學概念——函數的周期性（板書課題）
2．探索研究
�。�1）周期函數的定義
引導學生觀察下列圖表及正弦曲線
0
0
1
0
－1
0
1
0
－1
0
正弦函數值當自變量增加或減少一定的值時，函數值就重復出現．
聯想誘導公式 ，若令 則 ，由這個例子，我們可以歸納出周期函數的定義：
對于函數 ，如果存在一個非零常數 ，使得當 取定義域內的每一個值時，都有 ，那么函數 叫做周期函數，非零常數 叫做這個函數的周期．
如 ， ，…及 ， …都是正弦函數的周期．
注意：周期函數定義中 有兩點須重視，一是 是常數且不為零；二是等式必須對定義域中的每一個值時都成立．
師：請同學們思考下列問題：①對于函數 ， 有 能否說 是正弦函數 的周期．
生：不能說 是正弦函數 的周期，這個等式雖成立，但不是對定義域的每一個值都使等式 成立，所以不符合周期函數的定義．
�、� 是周期函數嗎？為什么
生：若是周期函數，則有非零常數 ，使 ，即 ，化簡得 ，∴ （不非零），或 （不是常數），故滿足非零常數 不存在，因而 不是周期函數．
思考題：若 為 的周期，則對于非零整數 ， 也是 的周期．（課外思考）
（2）最小正周期的定義
師：我們知道…， ， ， ， …都是正弦函數的周期，可以證明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期．
一般地，對于一個周期函數 ，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做 的最小正周期．
今后若涉及的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數的最小正周期．
依據定義， 和 的最小正周期為 ．
（3）例題分析
【例1】求下列函數的周期：
（1） ， ； �。�2） ， ；
�。�3） ， ．
分析：由周期函數的定義，即找非零常數 ，使 ．
解：（1）因為余弦函數的周期是 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，余弦函數的值才能重復取得，函數 ， 的值也才能重復取得，從而函數 ， 的周期是 ．
即 ，∴
�。�2）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數 ， 的周期是 ，就是說，變量 只要并且至少要增加到 ，函數 ， 的值才能重復取得，而 所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數值就能重復取得，從而函數 ， 的周期是 ．
即
∴
�。�3）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數 ， 的周期是 ，由于 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數值才能重復取得，即 是能使等式 成立的最小正數，從而函數 ， 的周期是 ．
而
∴
師：從上例可以看出，這些函數的周期僅與自變量 的系數有關，其規律如何？你能否求出函數 ， 及函數 ， （其中 ， ， 為常數，且 ， ）的周期？
生：
∴ ．
同理可求得 的周期 ．
【例2】求證：
�。�1） 的周期為 ；
（2） 的周期為 ；
（3） 的周期為 ．
分析：依據周期函數定義 證明．
證明：（1）
∴ 的周期為 ．
�。�2）
∴ 的周期為 ．
（3）
∴ 的周期為 ．
3．演練反饋（投影）
�。�1）函數 的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
（2） 的周期是_________
�。�3）求 的最小正周期．
參考答案：
�。�1）C；（2） ∴
�。�3）欲求 的周期，一般是把三角函數 化成易求周期的函數 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多個化一個，高次化一次”，將所給函數化成單角單函數．
由
4．總結提煉
�。�1）三角函數所特有的性質是周期性，周期與最小正周期是不同概念，研究三角函數的周期時，如未特別聲明，一般是指它的最小正周期．
（2）設 ， ．若 為 的周期，則必有：① 為無限集，② ；③ 在 上恒成立．
（3）只有 或 型的三角函數周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用．如 ，就不能說它的周期為 ．
（四）板書設計
課題
1．周期函數定義
兩點注意：
思考問題①
②
2．最小正周期定義
例1
例2
的周期
的周期
練習反饋
總結提煉
思考題：設 是定義在 上的以2為周期的周期函數，且是偶函數，當 時， ，求 上的表達式
參考答案：
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