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下學期 4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質2
4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第二課時）
（一）教學具準備
直尺，投影儀．
（二）教學目標
1．掌握 ， 的定義域、值域、最值、單調區間．
2．會求含有 、 的三角式的定義域．
（三）教學過程
1．設置情境
研究函數就是要討論一些性質， ， 是函數，我們當然也要探討它的一些屬性．本節課，我們就來研究正弦函數、余弦函數的最基本的兩條性質．
2．探索研究
師：同學們回想一下，研究一個函數常要研究它的哪些性質？
生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等．
師：很好，今天我們就來探索 ， 兩條最基本的性質——定義域、值域．（板書課題正、余弦函數的定義域、值域．）
師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像．
師：請同學思考以下幾個問題：
（1）正弦、余弦函數的定義域是什么？
（2）正弦、余弦函數的值域是什么？
（3）他們最值情況如何？
（4）他們的正負值區間如何分？
（5） 的解集如何？
師生一起歸納得出：
（1）正弦函數、余弦函數的定義域都是 ．
（2）正弦函數、余弦函數的值域都是 即 ， ，稱為正弦函數、余弦函數的有界性．
（3）取最大值、最小值情況：
正弦函數 ，當 時，（ ）函數值 取最大值1，當 時，（ ）函數值 取最小值－1．
余弦函數 ，當 ，（ ）時，函數值 取最大值1，當 ，（ ）時，函數值 取最小值－1．
（4）正負值區間：
（ ）
（5）零點： （ ）
（ ）
3．例題分析
【例1】求下列函數的定義域、值域：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1） ，
（2）由 （ ）
又∵ ，∴
∴定義域為 （ ），值域為 ．
（3）由 （ ），又由
∴
∴定義域為 （ ），值域為 ．
指出：求值域應注意用到 或 有界性的條件．
【例2】求下列函數的最大值，并求出最大值時 的集合：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） （4） ．
解：（1）當 ，即 （ ）時， 取得最大值
∴函數的最大值為2，取最大值時 的集合為 ．
（2）當 時，即 （ ）時， 取得最大值 ．
∴函數的最大值為1，取最大值時 的集合為 ．
（3）若 ， ，此時函數為常數函數．
若 時， ∴ 時，即 （ ）時，函數取最大值 ，
∴ 時函數的最大值為 ，取最大值時 的集合為 ．
（4）若 ，則當 時，函數取得最大值 ．
若 ，則 ，此時函數為常數函數．
若 ，當 時，函數取得最大值 ．
∴當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ；當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ，當 時，函數無最大值．
指出：對于含參數的最大值或最小值問題，要對 或 的系數進行討論．
思考：此例若改為求最小值，結果如何？
【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件？
（1） ； （2） ．
解：（1）由 ，
∴當 時，式子有意義．
（2）由 ，即
∴當 時，式子有意義．
4．演練反饋（投影）
（1）函數 ， 的簡圖是（ ）
（2）函數 的最大值和最小值分別為（ ）
A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4
（3）函數 的最小值是（ ）
A． B．－2 C． D．
（4）如果 與 同時有意義，則 的取值范圍應為（ ）
A． B． C． D． 或
（5） 與 都是增函數的區間是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
（6）函數 的定義域________，值域________， 時 的集合為_________．
參考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D
6． ； ；
5．總結提煉
（1） ， 的定義域均為 ．
（2） 、 的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的 集合為無限集．
（5）正負敬意及零點，從圖上一目了然．
（6）單調區間也可以從圖上看出．
（五）板書設計
1．定義域
2．值域
3．最值
4．正負區間
5．零點
例1
例2
例3
課堂練習
課后思考題：求函數 的最大值和最小值及取最值時的 集合
提示：
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