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初中數學用支架教學解決三角形內角和
初中數學用支架教學解決三角形內角和
劉 穎
（上海市嘉定區楊柳初級中學）
概念是思維的基本單位。由于概念的存在和應用，人們可以對復雜實物做出簡化、概括或分類的反應；由于概念是在揭示了經驗的內在聯系，獲得了實物的本質特征以后形成的，所以，概念增加了經驗的意義。概念將事物依其共同屬性而分類，依其屬性的差異而區別，因此，概念的形成可以幫助學生了解事物之間的從屬或相對關系。
數學概念是人類對現實世界的空間形式和數量關系的簡明、概括的反映，并且都由反映概念本質特征的符號來表示，這些符號使數學比別的學科有更加簡明、清晰、準確的表述形式。在中學數學教學中，正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則和數學思想的基礎，對數學概念的理解和掌握既是正確思維的前提，又是提高數學解題能力的必要條件。而數學概念形成的主要途徑可以說是教學。
三角形的內角和這一定理在初中的數學中有著舉足輕重的地位，它是初中數學最基礎、最重要的內容之一，是以后學習多邊形內角和的基礎，特別是現代生活中的“鑲嵌”，也離不開三角形的內角和定理。學習它，特別是學習它的推理證明，可以發展學生的思維品質，培養他們自主學習、合作探究、推理論證等能力。
根據皮亞杰的認知發展理論，學生在遇到新概念時，總是先用已有認知結構去同化，如果獲得成功，就得到暫時的平衡；如果同化不成功，則會調節已有認知結構或重新建立新的認知結構，以順應新概念，從而達到平衡。本文以《14.2（1）三角形的內角和》為題目，說說我是怎樣依據學生概念學習的這種機制，利用新概念與學生已有認知結構之間的差異來設置出相應的教學情境，以使學生能夠意識到這種不平衡，從而引起學生的認知需要，促使學生展開積極主動的學習活動。
本節課的教學目標有：（1）經歷對三角形內角和進行猜測、說理證實的研究過程，體會直觀感知與理性思考的聯系和區別，感受添加輔助線的依據；（2）掌握三角形的內角和性質，能運用這一性質進行簡單的說理計算。本節課的教學難點是：感受輔助線生成的過程，證實三角形內角和的性質。本節課是由實驗幾何向論證幾何過渡，初步經歷和體驗幾何推理的過程。
作為幾何證明的重要組成部分，這節課所涉及的內容對于幾何證明的學習顯得十分重要。其原因一方面在于，這是添加輔助線、進行幾何證明的首次學習，學生對此普遍感到困難；另一方面，這是《義務教育數學課程標準》下的“幾何公理體系”第一次循環的綜合運用，即“兩直線平行，內錯角相等”“內錯角相等，兩直線平行”的綜合應用。
我認為本節課的重點和難點是證明三角形內角和為180° 的輔助線的添法。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線，輔助線通常畫成虛線。三角形的內角和為180°，這個定理學生小學已經學過，而且用操作的方法進行了初步的驗證，因此，本節課主要是定理的證明。在證明的過程中，設置了一個小提示，“180°是在什么情況下出現的？你可以怎樣建構。”由于剛剛學習過平行線，因此，學生多數都能聯想到兩直線平行，同旁內角互補；也能想到，平角為180°，學生有了初步的想法：添加平行線。然后我根據學生的特點安排了分組討論證明，學生經過小組討論，一共獲得了如下幾種證明的方法：
方法1：作AD//BC，根據兩直線平行，內錯角相等和同旁內角互補，得到∠C=∠DAC，∠B+∠BAD=180°，再根據等量代換，得∠BAC+∠B+∠C=180°。
方法2：過點A作ED//BC，根據兩直線平行，內錯角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAB，再由等量代換和平角的意義從而得∠BAC+∠B+∠C=180°。
方法3：過點A作ED//BC，延長BA，根據直線平行同位角和內錯角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAD再由等量代換和平角的意義得∠BAC+∠B+∠C=180°。
方法4：過點A，B，C作AD//BE//CF，根據兩直線平行，內錯角相等則∠ACD=∠DAC，∠EBA=∠BAD，再由兩直線平行，同旁內角互補，得∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。
方法5：過點A，B，C作AD⊥BC，BE⊥BC，CF⊥BC，由垂直的意義，得到∠EBC=∠FCD=90°，再由兩直線平行內錯角相等，得∠ACF=∠DAC，∠EBA=∠BAD，最后由兩直線平行，同旁內角互補得到∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。
此時，本節課的重點和難點自然突破，在探索的過程中，無論是優等生還是學困生都獲得了極大的成功感，優等生能掌握更多的方法，而學困生也能掌握1~2種。
學生在探索添加輔助線證明這一部分一共用了25分鐘，后面的練習題分配的時間就相對少了，但是筆者認為，多種輔助線的添加，不僅鍛煉了學生的思維品質，還培養了他們自主學習、合作探究、推理論證等能力。本節課中三角形內角和的熟練掌握也為學生今后學習多邊形的內角和等知識打下了良好的基礎。