物理極值問題的求解方法1

物理極值問題的求解方法1

物理極值問題的求解方法1

    隨著教改的不斷深入，物理教學更加結合實際，物理習題的題型不斷拓寬。在中學物理競賽及高考試卷中都出現了一些具有一定難度的求極值問題。求極值的一般方法是用導數求解。但中學生還沒有學過關于異數的數學知識。本專題將分若干小專題，分別介紹符合中學生數學基礎的解決極值問題的方法。

一、幾何法求極值

    在初中幾何中我們曾經學過“點到直線的距離以垂線為最短。”此結論對于求極小值問題，是一條捷徑。

例1.如圖1-1所示，船A從港口P出發去攔截正以速度υ₀沿直線航行的船B 。P與B所在航線的垂直距離為a，A起航時與B船相距為b，b>a 。如果略去A船起動時的加速過程，認為它一起航就勻速運動。則A船能攔截到B船的最小速率為多少？

    分析與解：分析本題是兩個運動物體求它們之間的相對位置的問題。若以地球為參照系，兩個物體都運動，且運動方向不一致，它們之間的相對位置隨時間變化的關系比較復雜，一時不容易做出正確的判斷與解答。但如果把參照系建立在某一運動的物體上，（如B上）由于以誰為參照系，就認為誰不動，此題就簡化為一個物體，（如A）在此運動參照系的運動問題了。當然解一個物體的運動問題比解兩個物體都運動的問題自然容易多了。

以B為參照系，B不動，在此參照系中A將具有向左的分速度υ₀，如圖1-2所示。在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B 。應用“點到直線的距離以垂線為最短”的結論。過O點作PB的垂線，交PB于E點，OE即為A船對地的速度的最小值υ_A，在△AOE中

    ∵υ_A=υ₀Sinθ 而
    ∴，由于靈活運用了幾何知識，使較為復雜的問題，變為簡單的幾何問題了。

例2.如圖1-3所示，重為G的物體與水平地面的動摩擦因數為μ，欲以一個拉力F使物體沿地面勻速前進。問F與水平地面的夾角θ為何值時最省力？這個最小拉力是多大？
    分析與解：畫出物體的受力分析圖，如圖1-4所示。物體受到四個力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面對物體的滑動摩擦力f，其中f=Nμ。這四個力為共點力，合力為零。可將N與f合成為一個力N′，N與f的作用將被N′等效，N′與N、f的關系滿足平行四邊形法則。再畫出物體受N′、G、F的力的矢量三角形，如圖1-5所示。N′的方向如圖，應用“點到直線的距離以垂線為最短”的結論。過B點作N′的垂線交N′于C點，則BC的長度即表示最小作用力F_min，由于F_min與水平面夾角為θ,

    

    ∴∠CAB=∠θ F_min=Gsinθ
       由圖1-6可知，
   
    即 θ=arctanμ
    幾何法一般用于求極小值問題，其特點是簡單、直觀，把物體運動的較為復雜的極值問題，轉化為簡單的幾何問題去解，便于學生掌握。

　

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