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在層次教學中培養(yǎng)學生的思維能力
“層次教學”能引導和幫助學生克服思維障礙，推動思維多層面逐步深入地發(fā)展，使知識和能力不斷升華．教師可根據(jù)知識結(jié)構(gòu)的繁簡和理解程度的難易，把包含在知識和規(guī)律內(nèi)的復雜和隱蔽的內(nèi)涵，層層剝離，進行多層面的展開，逐級推進和激發(fā)，既使教學由表及里，深入清晰地揭示出整體知識的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律，又可訓練學生思維的廣闊性和深刻性． 一、數(shù)學概念和定理公式多層次的理解 數(shù)學概念和定理公式的教學是數(shù)學知識教學的重要組成部分，由于其本身的復雜性、抽象性，理解和掌握時可將其分解為多個層次，先一層一層地認識，理解每一層次表達的意思，然后再分析和綜合各層次間的內(nèi)在聯(lián)系，使形成完整的易于掌握的知識成為學生思維的必然．例如，對“復數(shù)的三角形式ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）”的理解，首先通過觀察，可作出表層認識： 層次Ⅰ：復數(shù)ｚ的模為ｒ； 層次Ⅱ：復數(shù)ｚ的幅角為θ； 層次Ⅲ：ｒ的取值范圍ｒ≥０； 層次Ⅳ：θ的取值范圍０°≤θ＜３６０°． 在以上表層理解的基礎(chǔ)上，可進一步擴展思維，使理解進入更深的本質(zhì)的層次： 層次Ⅴ：復數(shù)ｚ可表示成向量ｚ； 層次Ⅵ：ｒ即為向量ｚ的長度，故ｒ≥０； 層次Ⅶ：θ即為向量ｚ與ｘ軸正向的夾角； 層次Ⅷ：θ的取值決定向量ｚ所在的象限． 至此，通過層次教學，揭示了“復數(shù)三角表達式”的本質(zhì)，達到全面而深刻地理解公式的目的． 二、問題和情境層次化的創(chuàng)設(shè) 思維膚淺的學生，只能領(lǐng)會到問題中元素之間的淺層關(guān)系；思維深刻的學生則能深入問題內(nèi)部，透過表層，掌握其內(nèi)部元素間的深層關(guān)系，從而把握住問題的關(guān)鍵和本質(zhì)．因此，在問題教學中，應(yīng)有意識地引導學生作全面、深入的層次結(jié)構(gòu)分析，創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境，這有利于提高學生的思維品質(zhì)，促使問題解決． 例１觀察下表：１， ２，３，４， ３，４，５，６，７， ４，５，６，７，８，９，１０， …… 求第ｎ行各個數(shù)之和． 解本題的關(guān)鍵是深入分析上表的結(jié)構(gòu)層次及數(shù)列的特點，從特殊的對象開始觀察，通過分析、比較和分層歸納，得出一般規(guī)律．為此，教師應(yīng)著重處理好如下三個層次的教學，并創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的、逐層深入的問題情境． 層次Ⅰ：第ｎ行的第一個數(shù)是幾？ 問題情境：第ｎ行的第一個數(shù)與其所在的行數(shù)有何關(guān)系？ 學生通過觀察，容易得出，第ｎ行的第一個數(shù)與其所在的行數(shù)相同，即為ｎ． 層次Ⅱ：第ｎ行的最后一個數(shù)是幾？ 問題情境：第ｎ行的最后一個數(shù)與其所在的行數(shù)有何關(guān)系？ 學生通過前四行中每一行的最后一個數(shù)：１，４，７，１０，可進一步歸納求等差數(shù)列１，４，７，１０，……的第ｎ項為３ｎ－２，即為第ｎ行最后一個數(shù)． 層次Ⅲ：求第ｎ行各個數(shù)之和． 問題情境：第ｎ行數(shù)列有何性質(zhì)？其首項、未項、項數(shù)各是幾？ 通過以上逐層分析，學生此時茅塞頓開，本題歸結(jié)為求以ｎ為首項，３ｎ－２為末項，公差為１的等差數(shù)列的前２ｎ－１項的和，即第ｎ行各數(shù)之和Ｓｎ＝ｎ＋３ｎ－２２×（３ｎ－２－ｎ＋１）＝（２ｎ－１）２． 問題和情境層次化的創(chuàng)設(shè)，能引導和幫助學生架起思維的“梯子”，促使思維不斷上“臺階”．一般來說，層次教學應(yīng)符合以下要求： （１）要適合知識能力水平不同的學生．各問題之間的跨度要適當，即不能太小，限制了學生的思維；也不能太大，使學生一籌莫展，無所適從 （２）要體現(xiàn)學生思維的一般規(guī)律．如從感性到理性、從簡單到復雜、由低級到高級等． （３）要遵循數(shù)學思想、方法的要求．數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是構(gòu)成數(shù)學知識、技能的筋骨，數(shù)學問題和情境層次化的創(chuàng)設(shè)要體現(xiàn)數(shù)學思想方法的實質(zhì)． （４）問題和情境本身要富有啟發(fā)性．能引起學生的深入思考，盡量避免簡單形式化的肯定或否定回答． 三、綜合練習多層次變化 一般而言，綜合性愈強、知識跨度愈大的數(shù)學題，要求解題的思維層次愈高，對方法和技巧的掌握愈熟練，思維訓練的價值愈大，學生也愈難以理解，這就要求教師精心設(shè)計，根據(jù)問題進行多層次的變化，以減少坡度，順利地從未知向已知過渡． 例２已知ｚ１＝ｘ＋５＋ｙｉ，ｚ２＝ｘ－５＋ｙｉ，且ｘ，ｙ∈Ｒ，｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＝６，求ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ－３ｙ的極值． 此題綜合性強，融復數(shù)、函數(shù)、極值于一題，集化歸、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合于一身，所以對不少學生構(gòu)成較大的困難．教師在講解時，就應(yīng)作適當變式，可分解為如下幾個層次來處理： 第一層變化：轉(zhuǎn)化條件．由已知得（ｘ＋５）２＋ｙ２＋（ｘ－５）２＋ｙ２＝６．① 揭示隱含關(guān)系：由方程①，知動點（ｘ，ｙ）的軌跡是以（－５，０）、（５，０）為焦點，長軸為６的橢圓，其方程為ｘ２９＋ｙ２４＝１． 第二層變化：變換原題敘述方式．原題變?yōu)椋阂阎獙崝?shù)ｘ、ｙ滿足方程ｘ２９＋ｙ２４＝１，求ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ－３ｙ的極值． 第三層變化：代數(shù)問題幾何化，直觀處理． 揭示深層關(guān)系：設(shè)ｍ＝２ｘ－３ｙ，有ｙ＝２３ｘ－ｍ３，此乃斜率為２３，縱截距為－ｍ３，且過橢圓ｘ２９＋ｙ２４＝１上的點的一束平行線，當直線與橢圓相切時，－ｍ３（從而就是ｍ）取極值． 計算求解：將３ｙ＝２ｘ－ｍ代入４ｘ２＋９ｙ２＝３６，并根據(jù)判別式Δ≥０，求得｜ｍ｜≤６２，即ｍｍａｘ＝６２，ｍｍｉｎ＝－６２． 綜合習題多層次變化，體現(xiàn)在引導學生審題、推理、探路、尋找最佳策略、展示解題過程、回顧評述、延續(xù)拓廣等各個環(huán)節(jié)，從各方面聯(lián)想、類比，培養(yǎng)學生思維的深刻性和創(chuàng)造性，使知識和能力不斷升華． 四、系統(tǒng)知識不同階段的層次要求 數(shù)學知識本身是一個多層次的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，因此，理解和掌握知識應(yīng)遵循由簡單到復雜、由具體到抽象、由低級到高級的認識順序，保證知識學習的系統(tǒng)性，這就必然存在知識在不同階段的層次要求問題．為此，教師應(yīng)根據(jù)大綱和學習的不同時期和階段，設(shè)置相應(yīng)的教學層次，提出適當?shù)囊螅⑸朴谝灾R促思維，使思維在知識的系統(tǒng)學習和不斷鞏固中向廣度知深度發(fā)展．根據(jù)知識學習和思維發(fā)展的關(guān)系，教學層次和要求要設(shè)置在學生的最近發(fā)展區(qū)．例如在“將復數(shù)的代數(shù)式化為三角式”這一節(jié)里的內(nèi)容是學生力所能及的，如果讓學生解決問題，就不能簡單提“怎樣把復數(shù)的代數(shù)式化為三角式呢”這樣太抽象、太空洞的問題，如果換一種方式提問：“已知ａ和ｂ為不同時為零的實數(shù)，求ｒ和θ，使得ａ＋ｂｉ＝ｒ·（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｒ＞０，０≤θ≤２π）”，則屬于學生思維的最近發(fā)展區(qū)．學生通過認真思索，最終能達到“跳一跳能摘到果子”的目的． 總之，數(shù)學思維能力的形成必須是依靠數(shù)學知識基礎(chǔ)上的發(fā)展運動．數(shù)學思維的教學應(yīng)從學生的思維潛在水平開始，通過教學把潛在水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有水平，在新的現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上，又出現(xiàn)新的思維潛在水平，并形成新的思維最近發(fā)展區(qū)，于是教學又從新的思維潛在水平開始……，這種循環(huán)往復、不斷轉(zhuǎn)化和思維發(fā)展區(qū)層次逐步推動的過程，就是學生不斷積累知識和推動數(shù)學思維向前發(fā)展的過程．因此，教學的真正意義就在于善于發(fā)現(xiàn)并及時捕捉到各個發(fā)展階段和層次的“教學最佳期”，給學生的數(shù)學學習方法及思維途徑以針對性的有效的指導．
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