《高中數學探究》網絡校本課程的設計與開發

《高中數學探究》網絡校本課程的設計與開發

駱魁敏  江西省樂平中學
摘要:教師依托“高中數學虛擬實驗室”、“TI現代數學教育實驗室”、《高中數學探究》專題學習網站等數學技術平臺，設計與開發《高中數學探究》網絡校本課程，指導學生進行高中數學“探究性課題學習”，有利于培養學生在數學上的創新精神，敢于質疑、提問、反思、推廣，初步經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程，從而親身體驗數學探究的激情和愉悅，實現國家高中數學課程標準中的數學素養目標。
關鍵詞: 數學技術平臺，網絡校本課程，設計與開發，數學探究
一、引言
“進入21世紀中小學數學教育行動綱領（1997—2010）”中有一個基本思想，也是我國多年數學教育改革實踐的主要經驗：教師主導取向的有意義接受學習與學生自主取向的探究學習的取中、平衡，并按本國傳統來進行整合。上述兩種學習方式的比較詳見下表：
表1  兩種學習方式的比較
比較項目 有意義接受學習 探究學習

特點 舊經驗引導新學習；
教師系統傳授教材內容；
及時練習與反饋校正。 從問題出發引出探究學習；
在合作學習中追求新知；
寓求知于生活實踐活動。
理論
基礎 行為主義理論、認知心理學、奧蘇貝爾的有意義接受學習 人本主義理論、建構主義理論與布魯納的發現學習

優勢 目標是基礎知識，有利于系統掌握知識與技能，學科測驗成績較高 目標是能力和氣質，解決問題、創造能力、人際關系、動機態度較優
時至現代，我們從大量數學教育改革實踐的經驗中悟出，以本國文化為底蘊，重新整合上述兩教學取向，不僅可能，而且必要。尋找中西方教育教學的中間地帶，已經成為數學教育以及整個國際數學教育改革與發展的大趨勢，也是整個國際教育改革的大策略。[1]
高中教學提倡利用信息技術來呈現以往教學中難以呈現的課程內容，在保證筆算訓練的前提下，盡可能使用科學型計算器、各種教育技術平臺，加強高中數學課程教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現。我們應把信息技術不僅僅作為學習的對象，而應當作為學習的工具，努力實現高中數學課程與信息技術的整合，實現教學方式、學習方式的根本變革，充分發揮信息技術在學生自主學習、主動探究、合作交流等方面的優勢。充分發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗科學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。[2]
二、《高中數學探究》網絡校本課程教學目標分析
數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程。該過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明。
高中數學課程設立“數學探究”學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造有利的條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣。
數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創造的激情，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力；有助于發展學生的創新意識和實踐能力。
學生在數學探究的過程中，應學會查詢資料、收集信息、閱讀文獻。學生在數學探究中，應養成獨立思考和勇于質疑的習慣，同時也應學會與他人交流合作，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的頑強精神。在數學探究中，學生將初步了解數學概念和結論的產生過程，體驗數學研究的過程和創造的激情，提高發現、提出、解決數學問題的能力，發揮自己的想像力和創新精神。
三、《高中數學探究》網絡校本課程學習者特征分析
實驗對象為我校（省優秀重點高中）高一年級學生232人，高二年級402人, 高三年級學生57人。學生具體情況為：高一（6）班59人，高一（7）班57人，高一（10）班62人，高一（14）班54人；高二（3）班57人，高二（4）班57人，高二（5）班55人，高二（6）班54人,高二（9）班59人，高二（10）班59人,高二（14）班61人;高三（7）57人。由于組成課題組采取自愿報名與負責人挑選的雙向選擇的方式，所以受試的選取事實上是采用隨機抽取現存自然教學班的方式完成。
四、《高中數學探究》網絡校本課程知識內容分析
1、確立《高中數學探究》網絡校本課程內容選擇的基本原則
數學探究課題的選擇是完成探究學習的關鍵。課題的選擇要有助于學生對數學的理解，有助于學生體驗數學研究的過程，有助于學生形成發現、探究問題的意識，有助于鼓勵學生發揮自己的想像力和創造性。因此，《高中數學探究》網絡校本課程內容選擇應滿足以下幾條基本原則。
4.1.1可接受性原則
數學探究課題可以從教材提供的案例和背景材料中發現和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發現和建立，應該特別鼓勵學生在學習數學知識、技能、方法、思想的過程中發現和提出自己的問題并加以研究。
4.1.2開放性原則
課題應具有一定的開放性，課題的預備知識最好不超出學生現有的知識范圍。
4.1.3多樣化原則
數學探究課題應該多樣化，可以是某些數學結果的推廣和深入，不同數學內容之間的聯系和類比，也可以是發現和探索對自己來說是新的數學結果。
4.1.4整合性原則
將高中數學探究課程與信息技術進行全面整合，編著網絡探究課程，建立《高中數學探究》專題學習網站。
4.1.5 實踐性原則
關注知識形成的過程，盡可能多地為學生提供實踐操作的機會。
4.1.6 校本化原則
將高中數學探究課程作為校本課程，根據具體情況進行選編。
4.1.7 交互性原則
《高中數學探究》網絡校本課程具有較強的交互功能，使用者依托《高中數學探究》專題學習網站，與基于網絡的《高中數學探究》校本課程研究課題組的指導專家、實驗教師、各實驗班學生等進行同步或異步交流，合作探究，并實現資源共享。
4.2  精心設計《高中數學探究》網絡校本課程主要內容
教師應努力成為數學探究課題的創造者，教師要成為學生進行數學探究的組織者、指導者、合作者。因此，我們編著的《高中數學探究》校本課程共分為十章：第1章.高中數學探究性課題學習的方法與思路；第2章.高中數學探究課題類型（1）：活動型課題；第3章.高中數學探究課題類型（2）：構造性課題；第4章.高中數學探究課題類型（3）：猜想型課題；第5章.高中數學探究課題類型（4）：推廣型課題；第6章.高中數學探究課題類型（5）：總結型課題；第7章.高中數學探究課題類型（6）：重現型課題；第8章.高中數學探究課題類型（7）：統計型課題；第9章.高中數學探究課題類型（8）：概率型課題；第10章.高中數學探究課題類型（9）：滲透型課題。
五、組建高中數學探究的技術平臺
1、高中數學虛擬實驗室
高中數學虛擬實驗室網站由相互有機聯系的信息資源層（它包括策略庫、資料庫、題庫、積件庫、課件庫、軟件庫、教案庫、課題研究檔案等欄目）、教學工具平臺層（它包括高中代數、立體幾何、三角函數、平面解析幾何等Z+Z智能教育平臺，幾何畫板，測試與評估，BBS論壇等欄目）和超級鏈接層（它包括幾何畫板世界、圖形計算機世界、Google搜索引擎、數學奧林匹克俱樂部等網站）三部分組成，該網站掛靠在樂平中學網站.信息資源層的每一部分內容依據高中數學教學大綱和教材分為高一年級、高二年級、高三年級、綜合等四個一級子目錄，一級子目錄下按教材各章順序分為若干個二級子目錄，二級子目錄下按教材各章的單元順序分為若干個三級子目錄，教師點擊三級子目錄即可閱讀有關的具體內容。
教師在教學中要給學生創設展現思維過程的情境，加強學生雙邊活動中的主體參與，讓每個學生都有動腦、動嘴、動手的機會，注重學生在認知過程中的主體作用。使他們大膽地想、充分地問、多方位交流，教師要在教學活動中從一個知識傳播者自覺轉變為與學生一起發現問題、探討問題、解決問題的組織者、引導者、合作者。“高中數學虛擬實驗室網站”恰恰在這方面為師生營造了一個他們共同需要的氛圍，使之成為學生探究數學真理、合作交流的工具。[3]
2、TI現代數學教育實驗室
“TI現代數學教育實驗室”是由TI圖形計算器、TI圖形計算器顯示屏、TI視頻轉換器、投影儀（光學/實物/電子）、臺式計算機、校園網等組成的一個有機的網絡化教學環境，使各種教學信息和數據在他們之間自由傳輸，幫助教師和學生解決教與學中的問題。為學生搜集、處理數據提供有力的技術支持，增強學生動手操作、實踐的能力。使學生通過“做數學”的過程，理解數學概念和數學原理的內涵，發現數學規律；使學生通過數學探究的過程，感受到數學與實際生活及其他學科之間聯系的緊密性，從而把更多的時間花在數學活動的創新探索中，進一步提高數學教學的質量和效果。它具有以下特色：
1、流動性
一方面表現在它可在固定的實驗室內，更可以在任何一個普通的教室利用普通的投影儀進行操作、演示教學，并還可以利用實物投影儀、電視、計算機等多種設備輔助教學；另一方面表現在師生方便的攜帶，老師隨時隨地備課，學生在教室、家庭、野外、運動場等各種場合進行數學實驗，通過探索科學，進行數學分析，發現和掌握規律。
2、專業性
主要體現在作為“TI現代數學教育實驗室”主體的TI圖形計算器是源于為數學教學服務，后來又發展成為數理綜合性的應用。
3、可擴展性
TI圖形計算器的顯著特點還體現在它不僅僅在數學課堂教學中得到廣泛應用，還可以通過CBL和CBR，以及各種理化探頭，方便的進行多種物理、化學、生物等學科實驗，甚至可進行傳統的理化實驗尚不能完成的實驗。由于數學軟件的使用，還可以將實驗結果用適合的函數擬合，并用數學的方法分析，這樣數、理、化、生等課程成為一個綜合理科的實驗、教學與學生創新實踐的過程。
4、網絡化
TI圖形計算器不僅僅相互之間可以方便的傳輸數據和程序，更可以和相關的計算機數學軟件進行通信，建立備份，綜合使用。同時，如今的TI圖形計算器已經可以連接互連網，從網絡上下載應用程序，更新操作系統，訂做用戶界面，甚至完成數學作業等。
“TI現代數學教育實驗室”拓撲圖如下：
校園網                TI-Presenter和電視機





計算機         教師計算器      顯示屏和投影儀
                
                
                
學生計算器
        
                （CBR和CBL2為擴展成數理實驗室時選用）
圖1:“TI現代數學教育實驗室”拓撲圖
3、《高中數學探究》校本課程專題學習網站




























圖2：“《高中數學探究》專題學習網站”的結構設計流程圖
六、創建基于信息技術的高中數學探究教學模式體系
1、高中數學虛擬實驗探究教學模式
現代數學虛擬實驗是指教師根據數學思想發展脈絡，以數學軟件的應用為平臺，充分運用信息技術，模擬實驗環境，創設數學教學情境，設計系列問題增加輔助環節，引導學生通過操作、實踐、試驗，探索數學定理的證明、數學問題的解決，讓學生親自體驗數學建構過程。基于網絡的高中數學虛擬實驗式教學模式概括為六個環節：創設情境、確定主題、虛擬實驗、提出猜想、驗證猜想、成果交流。[4]

圖3  高中數學虛擬實驗探究式教學模式流程圖
2、高中數學TI實驗探究教學模式
我們構建了基于TI手持技術的實驗探究教學模式：“創設情境——自主探究——猜想假設——推理論證——分析評價”。它主要適用于數學概念、公式、定理、法則、例題等知識形成過程的教學，能充分體現學生主動參與數學真理的發現歷程，注重對學生發現知識策略和方法的培養。它應當成為培養學生創新精神和創新能力的主要教學模式。我們在高中數學教改實驗中，指導學生運用TI-92或TI—92PLUS圖形計算器對高中數學課程中的“函數”（特別是二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、無理函數、三角函數等）、“直線”、“圓錐曲線”、“立體幾何”等內容進行探究性學習。[5]
3、高中數學冒險活動方式
“數學冒險活動”即“選擇你自己的數學冒險活動”，最早是由美國夏威夷大學與當地的中學合作開發的項目，在該項目中學生自己決定要解決的數學問題，設計并論證解決的策略，最終真正理解問題中的數學概念或思想。學生在這個主動學習的過程中，推理活動必須使分析、創造和實踐三方面的思維都得到充分的發揮。我們在此基礎之上構建了基于網絡的的高中數學冒險活動方式,其流程圖如下：


圖4 “基于推理能力培養的數學冒險活動方式”流程圖
七、采取多種形式對高中數學探究性學習進行評價
數學探究的結果以課題報告或課題論文的方式完成。課題報告包括課題名稱、問題背景、對事實的觀察分析、對結果的猜測、對結果的論證、合作情形、對探究結果的體會或評論、引證的文獻資料等方面。
可以通過小組報告、班級報告、答辯會等方式交流探究成果，通過師生之間和學生之間的討論來評價探究學習的成績，評價主要是正面鼓勵學生的探索精神，肯定學生的創造性勞動，同時也指出存在的問題和不足。
數學探究報告及評語可以記入學生成長記錄，作為反映學生數學學習過程的資料和推薦依據。對于學生中優秀的報告或論文應該給予鼓勵，可以采取表揚、評獎、推薦雜志發表、編輯出版、向高等學校推薦等多種形式。
八、基于信息技術的高中數學探究教學典型案例
                          ——多媒體歐拉公式的發現
我們以人教社全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本•必修）《數學》第二冊（下）第九章“直線、平面、簡單幾何體” 第九節“研究性課題：多面體歐拉公式的發現”的教學為例，介紹這種“數學冒險活動”方式的操作特征。
教師首先通過多媒體電腦展示平臺，演示立方體、三棱柱、五棱柱、四棱錐、三棱錐、五棱錐、八面體、“塔頂”體（指正六面體上面是四棱錐的底）、截角立方體（截去立方體的一個角）等九個多面體。然后告訴同學們：“一個結構復雜的多面體有許多面、頂點、棱”。這種含糊的敘述幾乎任何人在立體幾何中都有接觸。然而多數人不是決心認真努力去深挖這句話的意義，并在此基礎上去探求一些更精確的知識。正確的做法應該是很清楚的識別其中包含的量，并提出一些明確的問題。
1、擬定冒險方案：寫出數學冒險的建議，與教師一起修改
每個學生都能與老師或同學討論問題的選擇，并給出相應的建議，從而學生有機會清楚表白自己的想法，從事自己選擇的問題。通過師生之間的討論，一方面可以促進學生對自己所選任務的理解，另一方面根據他人的建議，適當修正選擇的問題。如經過統計，我們發現學生提出的問題主要有四個：
    問題1：頂點數目V是否都隨同面的數目F的增大而增大？
問題2：頂點數目V是否都隨同棱的數目E的增大而增大？
問題3：面的數目F是否都隨同棱的數目E的增大而增大？
問題4：面的數目F、頂點數目V、棱的數目E三者之間有何聯系？
學生在教師指導下初步擬定自己的數學冒險方案。
2、實施冒險活動：開始冒險活動，探索并記錄計算方法，如果遇到難題與同伴或教師討論
當學生開始進行問題解決時，教師鼓勵他們使用任何他們能夠想到的方法，使用任何輔助工具，如計算器（機），或用紙與筆運算，或利用數學模型，或與同學、家長、教師、專家，或通過電子郵件與有關大學、研究院的數學家聯系。在這一階段，學生必須記錄他們的真實想法，以及發現問題和解決問題的過程，從而幫助他們明確自己的問題解決的中間過程。教師幫助學生會建立他們自己的學習檔案袋，及時對學生會的記錄手冊進行評論，同時引進數學語言，以幫助學生更清楚地認識自己的思想過程。
例如，學生甲選擇問題1，他研究了三棱錐、四棱錐、立方體、“塔頂”體多面體的面、頂點、棱的數目，用表2列出：
表2 學生甲研究過程表      表3 學生乙研究過程表
序號 多面體 面F 頂點V 棱E
1 三棱錐 4 4 6
2 四棱錐 5 5 8
3 立方體 6 8 12
4 塔頂體 9 9 16
序號 多面體 面F 頂點V 棱E
1 三棱錐 4 4 6
2 三棱柱 5 6 9
3 四棱錐 5 5 8
4 立方體 6 8 12
5 五棱錐 6 6 10
6 五棱柱 7 10 15
7 截角立方體 7 10 15
8 八面體 8 6 12
9 塔頂體 9 9 16





于是，他認為自己已解決了問題1，他很高興的告訴老師，他成功地得到進一步的結論：“頂點數目V與棱的數目E都隨同面的數目F的增大而增大！”
學生乙也選擇問題1，他起初研究了老師展示的全部九個多面體的面、頂點、棱的數目，用表3列出，于是，他認為自己已解決了問題1得到進一步的結論：“頂點數目V與棱的數目E都不是一致地隨同面的數目F的增大而增大！”。接著他將表3按E的增大的次序重新編排并進行觀察，又發現：“頂點數目V與面數目F都不是一致地隨同棱的數目E的增大而增大！” 多面體的面、頂點、棱的數目之間究竟有何聯系？他一時間陷入困境之中。
3、設計解決方案：寫出解決方案，與教師討論，然后再修正
一旦某個學生認為他解決了問題，就與教師進行一次簡短的交流。其目的是保證學生進行一次清晰的表達，其中包括合理使用必要的表格、圖例、說明等。通過交流，并不是檢驗學生是否獲得滿意的答案，針對這個問題留給其他同學去評價。完成問題，并不一定意味著學生得到最終結果。一些冒險活動可能需要很長時間，學生有時不能在規定時間內全部完成，他們只進行一些必要的算法和步驟。如，學生甲只研究了四個多面體，得出他認為正確的結論。學生乙感覺到選擇的問題太難而無法解決，只能冒險到半路。一旦教師和學生都認為他們盡力而為了，教師應該允許學生詳細描繪自己的思路，肯定其中的可取之處，此時要特別強調的是應把數學作為一個過程，一個思考解決問題的途經，一種培養學生論證推理（即演繹推理）與合情推理的手段，而不必是正確的答案。
例如，教師與學生乙交談，首先肯定他的成績，然后引導他修改原定的冒險方案。學生乙重新觀察自己統計的數據，發現：雖然頂點數目V與面數目F都不是始終如一地隨同棱的數目E的增大而增大，但“總的趨勢”似乎是增大的。于是他將表格2中的對應的F和V相加并作為一項，與棱的數目E相比較，發現一個更準確的規律：表格中的九種多面體的面、頂點、棱的數目全部滿足關系式：F+V=E+2 .
他感覺到這種規律似乎不太可能是偶然出現的。于是他提出一個猜想：對于任何多面體來說，面數加頂點數等于棱數加二。
這猜想一定正確嗎？他心理沒有底。于是，他分別用正二十面體與正十二面體實物模型檢驗猜想，發現這兩種情形都能證實猜想。這個猜想顯得更加合理，但并未被證明，他需要作更進一步的實驗、更嚴格的檢驗。他在教師的指導下重新設計了解決方案：
⑴n棱錐在它n邊形面上增加一個“屋頂”或截去含n條棱的一個頂后，剛才的猜想是否成立？能證明嗎？
⑵這個猜想是否對于任何多面體都成立嗎？如果成立，能證明嗎？如果不成立，能舉出反例或對多面體加一定的限制性的條件使之成立嗎？
4、展示討論答辯：從數學家角度展示問題解決成果，適時舉行論文答辯，進一步討論并修正
扮演數學家討論問題，是班級活動中最活躍、最有動力、最激動人心的時刻，是數學冒險活動的高潮階段。學生聽眾終于有機會了解班級同學近一段時間以來的研究工作，當學生希望聽到他的同學進行的有趣的問題解決時，有一種激動的感覺，學生數學家在不受干擾的情況下陳述自己的工作。每個展示結束有15—30分鐘的討論，這些討論給師生機會就數學進行有意義的對話。在報告中，學生經常認識到自己或他人作業中的錯誤，一旦出現這種情況，讓報告人完成介紹，并讓聽眾明白某一步是錯誤的或結論是錯誤的，需要加以修正。通過論文答辯、討論等形式的師生的交流，學生報告人進一步修改自己的論文，就自己的數學冒險問題的解決作第二次甚至第三次報告，讓學生體驗到數學的成功。
例如，學生乙自己發現了歐拉公式：任何一個簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E之間滿足以下特有的規律：V+F-E=2 .并了解到：歐拉研究多面體用了一種特別方法，即假定多面體的表面是用橡皮薄膜制作的，如果給它充氣，那么它就會連續（不破裂、不粘連）變形，把平面變成了曲面。歐拉公式的發現與證明得益于兩大創新，即“把多面體的表面看作用橡皮薄膜制作的”（觀念的創新）與“向它們內部充氣；將底面剪掉，然后其余各面拉開鋪平”（方法的創新）；他作了題為“試論歐拉的兩大創新”的學術報告，介紹自己發現并證明歐拉公式的曲折思維過程、收獲、成果與體驗，受到師生的好評。
5、拓展交流評價：拓展研究成果，制作掛圖或網頁，成果交流與評價
當學生完成數學冒險活動，整個冒險過程要求用掛圖或網頁形式展示出來。這一階段，學生必需自己思考如何展示他的思想以及成果。通過網絡他們可以與他人（父母、兄弟姐妹、學校的其他師生、網頁游覽者等）一起討論熟悉項目，這樣一來討論就延伸到校外，他的研究成果將更加完善。最后由教師與學生代表組成的“專家評議組”進行評比，分為一等獎、二等獎、三等獎、成功參與獎等四個層次對學生參與的數學冒險活動及其成果進行評價與獎勵。我們特別注重學生創新能力的培養與實踐活動的參與，讓每個學生獲得親自參與研究探索的積極體驗，讓每個學生體驗科研成功的喜悅，發展對社會的責任心與使命感；培養科學態度與科學道德等。
九、結論
《高中數學探究》網絡校本課程的設計與開發，《高中數學探究》專題學習網站的建立與運行，有助于高中數學教師與教研人員全方位認識國家高中數學課程標準中有關“探究性課題學習”的要求與特征；有助于高中數學教師在課堂教學中，引導和幫助而不是代替學生發現和提出探究課題，特別應該鼓勵和幫助學生獨立地發現和提出問題；組織和鼓勵學生組成課題組合作地解決問題；指導和幫助學生養成查閱相關的參考書籍和資料、在計算機網絡上查找和引證資料的習慣。
并初步構建基于現代信息技術的高中數學“探究性課題”的學習策略體系。在實踐上能為高中數學教學第一線教師和教研人員提供基于現代信息技術的高中數學“探究性課題學習”內容設計的理念與基本原則、內容體系、操作方法、課程體系以及可供他們借鑒的典型案例，并提供交流、學習的平臺即專題學習網站，從而豐富和創新現代數學教育科學的基礎理論。
十、參考文獻
[1]顧泠沅、易凌峰、聶必凱，《尋找中間地帶——國際數學教育改革大趨勢》，上海教育出版社，第1版,(2003);
[2]《國家高中數學課程標準》制訂組，《“高中數學課程標準”的框架設想》，《數學教學》，第2期, 2-6頁(2002);
[3]駱魁敏，《構筑課程整合平臺系統  創設高中數學教學情境》，《信息技術教育》，12月號, 52-54頁(2002)；
[4]駱魁敏，《高中數學虛擬實驗探究式教學模式》，《現代教育技術》,第3期,55-57頁(2003);
[5]駱魁敏，《在TI上搭建數學：基于TI的數學教學模式探索》，《信息技術教育》，第2期，54-56頁（2003）。

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