《反比例》數學教案（精選12篇）
在教學工作者實際的教學活動中，往往需要進行教案編寫工作，借助教案可以更好地組織教學活動。教案應該怎么寫才好呢？以下是小編為大家整理的《反比例》數學教案，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
《反比例》數學教案 1
教學目標
1.理解反比例的意義。
2.能根據反比例的意義，正確判斷兩種量是否成反比例。
3.培養學生的抽象概括能力和判斷推理能力。
教學重點
引導學生理解反比例的意義。
教學難點
利用反比例的意義，正確判斷兩種量是否成反比例。
教學過程
一、復習準備（演示課件：成反比例的量）
1.下表中的兩種量是不是成正比例？為什么？
購買練習的本數（本）總價（元）
10.80
21.60
43.20
64.80
97.20
2.回憶：成正比例的量有什么特征？
二、新授教學
（一）引入新課
我們已經學習了常見數量關系中成正比例關系的量的特征。這節課我們繼續研究常見的數量關系中的另外一種特征成反比例的量。
教師板書：成反比例的量
（二）教學例4（演示課件：成反比例的量）
1.出示例4，提出觀察思考要求：
從表中你發現了什么？這個表同復習的表相比，有什么不同？
（1）表中的兩種量是每小時加工的數量和所需的加工時間。
教師板書：每小時加工數和加工時間
（2）每小時加工的數量擴大，所需的加工時間反而縮小；每小時加工的數量縮小，所需的加工時間反而擴大。
教師追問：這是兩種相關聯的量嗎？為什么？
（3）每兩個相對應的數的乘積都是600.
2.這個600實際上就是什么？每小時加工數、加工時間和零件總數，怎樣用式子表示它們之間的關系？
教師板書：零件總數
每小時加工數加工時間＝零件總數
3.小結
通過剛才的.研究，我們知道，每小時加工數和加工時間是兩種相關聯的量，每小時加工數變化，加工時間也隨著變化，每小時加工數乘以加工時間等于零件總數，這里的零件總數是一定的。
（三）教學例5（演示課件：成反比例的量）
1.出示例5，根據題意，學生口述填表。
2.教師提問：
（1）表中有哪兩種量？是相關聯的量嗎？
教師板書：每本張數和裝訂本數
（2）裝訂的本數是怎樣隨著每本的張數變化的？
（3）表中的兩種量有什么變化規律？
（四）比較例4和例5，概括反比例的意義。
1.請你比較例4和例5，它們有什么相同點？
（1）都有兩種相關聯的量。
（2）都是一種量變化，另一種量也隨著變化。
（3）都是兩種量中相對應的兩個數的積一定。
2.教師小結
像這樣的兩種量，我們就把它們叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。
3.如果用字母 和 表示兩種相關聯的量，用 表示它們的積一定，反比例關系可以用一個什么樣的式子表示？
教師板書：＝ （一定）
（五）教學例6（演示課件：成反比例的量）
1.出示例6，教師提問：
（1）每天播種的公頃數和要用的天數是不是相關聯的量？
（2）每天播種的公頃數和要用的天數有什么關系？它們的積是什么？這個積一定嗎？
（3）播種總公頃數一定，每天播種公頃數和要用的天數成反比例嗎？為什么？
2.思考：播種的總公頃數一定，已經播種的公頃數和剩下的公頃數是不是成反比例？
三、課堂小結
這節課我們學習了成反比例的量，知道了什么樣的兩種量是成反比例的量，也學會了怎樣判斷兩種量是不是成反比例。在判斷時，同學們要按照反比例的意義，認真分析，做出正確的判斷。
四、課堂練習
（一）判斷下面每題中的兩個量是不是成反比例，并說明理由。
1.路程一定，速度和時間。
2.小明從家到學校，每分走的速度和所需時間。
3.平行四邊形面積一定，底和高。
4.小林做10道數學題，已做的題和沒有做的題。
5.小明拿一些錢買鉛筆，單價和購買的數量。
（二）你能舉一個反比例的例子嗎？
五、課后作業
判斷下面每題中的兩種量是不是成反比例，并說明理由。
1.煤的總量一定，每天的燒煤量和能夠燒的天數。
2.種子的總量一定，每公頃的播種量和播種的公頃數。
3.李叔叔從家到工廠，騎自行車的速度和所需的時間。
4.華容做12道數學題，做完的題和沒有做的題。
5.生產電視機的總臺數一定，每天生產的臺數和所用的天數。
6.長方形的面積一定，它的長和寬。
7.小林拿一些錢買練習本，單價和購買的數量。
六、板書設計
成反比例的量
例4.每小時加工數加工時間＝零件總數（一定）
例5.每本頁數裝訂本數＝紙的總頁數（一定）
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量。它們的關系叫做反比例關系。
＝ （一定）
例6.因為：每天播種的公頃數天數＝播種的總公頃數（一定）
所以：每天播種的公頃數和要用的天數成反比例。
《反比例》數學教案 2
教學目標
知識技能目標：
1、理解反比例函數的圖象是雙曲線，利用描點法畫出反比例函數的圖象，說出它的性質；
2、利用反比例函數的圖象解決有關問題。
過程性目標：
1、經歷對反比例函數圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質；
2、探索反比例函數的圖象的性質，體會用數形結合思想解數學問題。
教學過程
一、創設情境
上節的練習中，我們畫出了問題1中函數的圖象，發現它并不是直線。那么它是怎么樣的曲線呢？本節課，我們就來討論一般的反比例函數（k是常數，k≠0）的圖象，探究它有什么性質。
二、探究歸納
1、畫出函數的圖象。
分析畫出函數圖象一般分為列表、描點、連線三個步驟，在反比例函數中自變量x≠0。
1、列表：這個函數中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數，列出x與y的對應值：
2、描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出在京各點點（—6，—1）、（—3，—2）、（—2，—3）等。
3、連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支；用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支。這兩個分支合起來，就是反比例函數的圖象。
上述圖象，通常稱為雙曲線（hyperbola）。
提問這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎？為什么？
學生試一試：畫出反比例函數的圖象（學生動手畫反比函數圖象，進一步掌握畫函數圖象的步驟）。
學生討論、交流以下問題，并將討論、交流的結果回答問題。
1、這個函數的圖象在哪兩個象限？和函數的圖象有什么不同？
2、反比例函數（k≠0）的圖象在哪兩個象限內？由什么確定？
3、聯系一次函數的性質，你能否總結出反比例函數中隨著自變量x的增加，函數y將怎樣變化？有什么規律？
反比例函數有下列性質：
（1）當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少；
（2）當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加。
注
1、雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點；
2、雙曲線的兩個分支關于原點成中心對稱。
以上兩點性質在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義？
在問題1中反映了汽車比自行車的速度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮上的'時間少。
在問題2中反映了在面積一定的情況下，飼養場的一邊越長，另一邊越小。
三、實踐應用
例1若反比例函數的圖象在第二、四象限，求m的值。
分析由反比例函數的定義可知：，又由于圖象在二、四象限，所以m+1<0，由這兩個條件可解出m的值。
解由題意，得解得。
例2已知反比例函數（k≠0），當x>0時，y隨x的增大而增大，求一次函數y=kx—k的圖象經過的象限。
分析由于反比例函數（k≠0），當x>0時，y隨x的增大而增大，因此k<0，而一次函數y=kx—k中，k<0，可知，圖象過二、四象限，又—k>0，所以直線與y軸的交點在x軸的上方。
解因為反比例函數（k≠0），當x>0時，y隨x的增大而增大，所以k<0，所以一次函數y=kx—k的圖象經過一、二、四象限。
例3已知反比例函數的圖象過點（1，—2）。
（1）求這個函數的解析式，并畫出圖象；
（2）若點A（—5，m）在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上？
分析（1）反比例函數的圖象過點（1，—2），即當x=1時，y=—2。由待定系數法可求出反比例函數解析式；再根據解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函數的圖象；
（2）由點A在反比例函數的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否在圖象上。
解（1）設：反比例函數的解析式為：（k≠0）。
而反比例函數的圖象過點（1，—2），即當x=1時，y=—2。
所以，k=—2。
即反比例函數的解析式為：。
（2）點A（—5，m）在反比例函數圖象上，所以，
點A的坐標為。
點A關于x軸的對稱點不在這個圖象上；
點A關于y軸的對稱點不在這個圖象上；
點A關于原點的對稱點在這個圖象上；
例4已知函數為反比例函數。
（1）求m的值；
（2）它的圖象在第幾象限內？在各象限內，y隨x的增大如何變化？
（3）當—3≤x≤時，求此函數的最大值和最小值。
解（1）由反比例函數的定義可知：解得，m=—2。
（2）因為—2<0，所以反比例函數的圖象在第二、四象限內，在各象限內，y隨x的增大而增大。
（3）因為在第個象限內，y隨x的增大而增大，
所以當x=時，y最大值=；
當x=—3時，y最小值=。
所以當—3≤x≤時，此函數的最大值為8，最小值為。
例5一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米。
（1）寫出用高表示長的函數關系式；
（2）寫出自變量x的取值范圍；
（3）畫出函數的圖象。
解（1）因為100=5xy，所以。
（2）x>0。
（3）圖象如下：
說明由于自變量x>0，所以畫出的反比例函數的圖象只是位于第一象限內的一個分支。
四、交流反思
本節課學習了畫反比例函數的圖象和探討了反比例函數的性質。
1、反比例函數的圖象是雙曲線（hyperbola）。
2、反比例函數有如下性質：
（1）當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少；
（2）當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加。
五、檢測反饋
1、已知y是x的反比例函數，且當x=3時，y=8，求：
（1）y和x的函數關系式；
（2）當時，y的值；
（3）當x取何值時，？
2、若反比例函數的圖象在所在象限內，y隨x的增大而增大，求n的值。
3、已知反比例函數經過點A（2，—m）和B（n，2n），求：
（1）m和n的值；
（2）若圖象上有兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1<0
《反比例》數學教案 3
教學目標：
在鞏固正反比例的意義和正方比例的判斷方法上，通過比較觀察，理解并掌握正、反比例的意義和判斷方法的差異，明確在同一組數量關系中，什么量一定時，另外兩種量成正比例關系；什么量一定時，另外兩種量成反比例關系，并能正確地判斷。
教學重點、難點：
區分正反比例的差異
教學過程：
一、復習
1、前面一段時間我們學習哪兩種比例關系？說說你的理解！
板書：正比例、反比例（學生回顧正反比例）
2、想一想：單價、數量、總價這三種量、每兩種之間存在怎么樣的比例關系？它們的條件是什么？
二、總結問題、比較正反比例
單價一定，數量和總價成正比例關系。
數量一定，單價和總價成正比例關系。
總價一定、單價和數量呈反比例關系。
小練筆：請學生舉幾個數量關系說一說，同桌交流，匯報
三、鞏固練習
練一練1、2、3
4、A、B、C三種量的關系是：
如果A一定，那么B和C成（ ）比例；
如果B一定，那么A和C成（ ）比例；
如果C一定，那么A和B成（ ）比例。
在此基礎上拓展：
1、（ ），那么和成（ ）關系；
2、（ ），那么和成（ ）關系；
3、（ ），那么和成（ ）關系；
判斷：
（1）（ ），圓周率一定，圓的周長和相應的直徑成正比例；
（2）（ ），圓的直徑一定，圓周率和相應的周長成正比例；
（3）（ ），圓的周長一定，圓周率和相應的直徑成反比例；
練一練5、判斷成不成比例？成什么比例？
四、小結
正反比例的區別與判斷
課后反思：
本堂課是在學生學習了正比例和反比例的基礎上進行的一堂正反比例的比較的綜合課，整堂課主要是讓學生通過一定的練習比較觀察使得學生自主的'歸納出正反比例的異同，使得學生能夠更好的明確正反比例的意義和判斷。因此整堂課學生的參與的積極性比較高，基本上的學生都能夠參與到課堂的教學中來。
在整個備課過程中，根據教學內容的要求，載客后的練習中補充了帶有未知數的三道練習讓學生判斷成不成比例，成什么比例，提高學生對數學的積極性和杰卻問題的能力。與此同時還安排了一個判斷題，由于前面都遇到有一個數量關系可以得出一種量一定，另外兩種量的比例關系，可是這個問題就存在有這樣的問題，因為圓周率是一定的，通過這個題的練習使得學生更好的理解正反比例的條件，兩種相關聯的量，一種量變化另一種量也隨著變化。
再602班上課的時候，在出示小黑板的時候，沒有先讓學生回顧正反比例的知識，學生的課堂注意力沒有及時地吸引過來，于是在第二堂課的時候，求安排了這樣一個環節，讓學生回顧知識，并吸引學生注意。還有就是表意于表二的利用，在第二堂課上比第一堂提高了，消除了學生再次整理信息所消耗的時間，提高了課堂效率。
《反比例》數學教案 4
學習目標
結合豐富的實例，認識反比例。能根據反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成反比例。利用反比例解決一些簡單的生活問題，感受反比例關系在生活中的廣泛應用。
學習重點
認識反比例，能根據反比例的意義判斷兩個相關聯的量是不是成反比例。
教學過程
一、復習
1、什么是正比例的量？
2、判斷下面各題中的兩種量是否成正比例？為什么？
（1）工作效率一定，工作時間和工作總量。
（2）每頭奶牛的產奶量一定，奶牛的頭數和產奶總量。
（3）正方形的邊長和它的面積。
二、導入新課
利用反義詞來導入今天研究的課題。今天研究兩種量成反比例關系的變化規律。
三、進行新課
情境（一）
認識加法表中和是12的直線及乘法表中積是12的曲線。
情境（二）
讓學生把汽車行駛的.速度和時間的表填完整，當速度發生變化時，時間怎樣變化？每兩個相對應的數的乘積各是多少？你有什么發現？獨立觀察，思考
同桌交流，用自己的語言表達寫出關系式：速度×時間=路程（一定）觀察思考并用自己的語言描述變化關系乘積（路程）一定
情境（三）
把杯數和每杯果汁量的表填完整，當杯數發生變化時，每杯果汁量怎樣變化？每兩個相對應的數的乘積各是多少？化關系
寫出關系式：每杯果汁量×杯數=果汗總量（一定）
5、以上兩個情境中有什么共同點？
反比例意義
引導小結：
活動四：想一想
P26頁第1、2、3題
關系式：X×Y=K（一定）
課后反思：
學生活動
學生自由回答，相互補充。
學生觀察，弄清題意。
引導學生發現規律：加法表中和是12，一個加數隨另一個加數的變化而變化；乘法表中積是12，一個乘數隨另一個乘數的變化而變化。
獨立觀察，思考同桌交流，用自己的語言表達寫出關系式：速度×時間=路程（一定）觀察思考并用自己的語言描述變化關系乘積（路程）一定。
你有什么發現？用自己的語言描述變
都有兩種相關聯通的量，其中一種量變化，另一種量也隨著變化，并且這
兩種量中相對應的兩個數的乘積是一定的。這兩種量之間是反比例關系。
《反比例》數學教案 5
三維目標
一、知識與技能
1.能靈活列反比例函數表達式解決一些實際問題.
2.能綜合利用物理杠桿知識、反比例函數的知識解決一些實際問題.
二、過程與方法
1.經歷分析實際問題中變量之間的關系，建立反比例函數模型，進而解決問題.
2. 體會數學與現實生活的緊密聯系，增強應用意識，提高運用代數方法解決問題的能力.
三、情感態度與價值觀
1.積極參與交流，并積極發表意見.
2.體驗反比例函數是有效地描述物理世界的重要手段，認識到數學是解決實際問題和進行交流的重要工具.
教學重點
掌握從物理問題中建構反比例函數模型.
教學難點
從實際問題中尋找變量之間的關系，關鍵是充分運用所學知識分析物理問題，建立函數模型，教學時注意分析過程，滲透數形結合的思想.
教具準備
多媒體課件。
教學過程
一、創設問題情境，引入新課
活動1
問 屬：在物理學中，有很多量之間的變化是反比例函數的關系，因此，我們可以借助于反比例函數的圖象和性質解決一些物理學中的問題，這也稱為跨學科應用.下面的例子就是其中之一.
在某一電路中，保持電壓不變，電流I(安培)和電阻R(歐姆)成反比例，當電阻R＝5歐姆時，電流I＝2安培.
(1)求I與R之間的函數關系式；
(2)當電流I＝0.5時，求電阻R的值.
設計意圖：
運用反比例函數解決物理學中的一些相關問題，提高各學科相互之間的綜合應用能力.
師生行為：
可由學生獨立思考，領會反比例函數在物理學中的綜合應用.
教師應給“學困生”一點物理學知識的引導.
師：從題目中提供的信息看變量I與R之間的反比例函數關系，可設出其表達式，再由已知條件(I與R的一對對應值)得到字母系數k的值.
生：(1)解：設I＝kR ∵R＝5，I＝2，于是
2＝k5 ，所以k＝10，∴I＝10R .
(2) 當I＝0.5時，R＝10I＝100.5 ＝20(歐姆).
師：很好!“給我一個支點，我可以把地球撬動.”這是哪一位科學家的名言?這里蘊涵著什么 樣的原理呢?
生：這是古希臘科學家阿基米德的名言.
師：是的公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了著名的“杠桿定律”： 若兩物體與支點的距離反比于其重量，則杠桿平衡，通俗一點可以描述為；
阻力×阻力臂＝動力×動力臂(如下圖)
下面我們就來看一例子.
二、講授新課
活動2
小偉欲用撬棍橇動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200牛頓和0.5米.
(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數關系?當動力臂為1.5米時，撬動石頭至少需要多大的力?
(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少?
設計意圖：
物理學中的很多量之間的變化是反比例函數關系.因此，在這兒又一次借助反比例函數的圖象和性質解決一些物理學中的問題，即跨學科綜合應用.
師生行為：
先由學生根據“杠桿定律”解決上述問題.
教師可引導學生揭示“杠桿乎衡”與“反比例函數”之間的關系.
教師在此活動中應重點關注：
①學生能否主動用“杠桿定律”中杠桿平衡的條件去理解實際問題，從而建立與反比例函數的關系；
②學生能否面對困難，認真思考，尋找解題的途徑；
③學生能否積極主動地參與數學活動，對數學和物理有著濃厚的興趣.
師：“撬動石頭”就意味著達到了“杠桿平衡”，因此可用“杠桿定律”來解決此問題.
生：解：(1)根據“杠桿定律” 有
Fl＝1200×0.5.得F ＝600l
當l＝1.5時，F＝6001.5 ＝400.
因此，撬動石頭至少需要400牛頓的力.
(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，即不超過200牛，根據“杠桿定律”有
Fl＝600，
l＝600F .
當F＝400×12 ＝200時，
l＝600200 ＝3.
3－1.5＝1.5(米)
因此，若想用力不超過400牛頓的一半，則動力臂至少要如長1.5米.
生：也可用不等式來解，如下：
Fl＝600，F＝600l .
而F≤400×12 ＝200時.
600l ≤200
l≥3.
所以l－1.5≥3－1.5＝1.5.
即若想用力不超過400牛頓的一半，則動力臂至少要加長1.5米.
生：還可由函數圖象，利用反比例函數的性質求出.
師：很棒!請同學們下去親自畫出圖象完成，現在請同學們思考下列問題：
用反比例函數的知識解釋：在我們使用橇棍時，為什么動力臂越長越省力?
生：因為阻力和阻力臂不變，設動力臂為l，動力為F，阻力×阻力臂＝k(常數且k＞0)，所以根據“杠桿定理”得Fl＝k，即F＝kl (k為常數且k＞0)
根據反比例函數的性質，當k＞O時，在第一象限F隨l的增大而減小，即動力臂越長越省力.
師：其實反比例函數在實際運用中非常廣泛.例如在解決經濟預算問題中的應用.
活動3
問題：某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調至0.55～0.75元之間，經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0.4)元成反比例.又當x＝0.65元時，y＝0.8.(1)求y與x之間的函數關系式；(2)若每度電的成本價0.3元，電價調至0.6元，請你預算一下本年度電力部門的純收人多少?
設計意圖：
在生活中各部門，經常遇到經濟預算等問題，有時關系到因素之間是反比例函數關系，對于此類問題我們往往由題目提供的信息得到變量之間的函數關系式，進而用函數關系式解決一個具體問題.
師生行為：
由學生先獨立思考，然后小組內討論完成.
教師應給予“學困生”以一定的幫助.
生：解：(1)∵y與x －0.4成反比例，
∴設y＝kx－0.4 (k≠0).
把x＝0.65，y＝0.8代入y＝kx－0.4 ，得
k0.65－0.4 ＝0.8.
解得k＝0.2，
∴y＝0.2x－0.4＝15x－2
∴y與x之間的函數關系為y＝15x－2
(2)根據題意，本年度電力部門的純收入為
(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x－2 )＝0.3(1＋10.6×5－2 )＝0.3×2＝0.6(億元)
答：本年度的純收人為0.6億元，
師生共析：
(1)由題目提供的信息知y與(x－0.4)之間是反比例函數關系，把x－0.4看成一個變量，于是可設出表達式，再由題目的條件x＝0.65時，y＝0.8得出字母系數的值；
(2)純收入＝總收入－總成本.
三、鞏固提高
活動4
一定質量的二氧化碳氣體，其體積y(m3)是密度ρ(kg／m3)的反比例函數，請根據下圖中的已知條件求出當密度ρ＝1.1 kg／m3時二氧化碳氣體的體積V的值.
設計意圖：
進一步體現物理和反比例函數的關系.
師生行為
由學生獨立完成，教師講評.
師：若要求出ρ＝1.1 kg／m3時，V的值，首先V和ρ的函數關系.
生：V和ρ的反比例函數關系為：V＝990ρ .
生：當ρ＝1.1kg／m3根據V＝990ρ ，得
V＝990ρ ＝9901.1 ＝900(m3).
所以當密度ρ＝1. 1 kg／m3時二氧化碳氣體的氣體為900m3.
四、課時小結
活動5
你對本節內容有哪些認識?重點掌握利用函數關系解實際問題，首先列出函數關系式，利用待定系數法求出解 析式，再根據解析式解得.
設計意圖：
這種形式的`小結，激發了學生的主動參與意識，調動了學生的學習興趣，為每一位學生都創造了在數學學習活動中獲得成功的體驗機會，并為程度不同的學生提供了充分展示自己的機會，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，從而使小結不流于形式而具有實效性.
師生行為：
學生可分小組活動，在小組內交流收獲， 然后由小組代表在全班交流.
教師組織學生小結.
反比例函數與現實生活聯系非常緊密，特別是為討論物理中的一些量之間的關系打下了良好的基礎.用數學模型的解釋物理量之間的關系淺顯易懂，同時不僅要注意跨學科間的綜合，而本學科知識間的整合也尤為重要，例如方程、不等式、函數之間的不可分割的關系.
板書設計
17.2 實際問題與反比例函數(三)
用反比例函數的知識解釋：在我們使 用撬棍時，為什么動 力臂越長越省力?
設阻力為F1，阻力臂長為l1，所以F1×l1＝k(k為常數且k＞0).動力和動力臂分別為F，l.則根據杠桿定理，
Fl＝k 即F＝kl (k＞0且k為常數).
由此可知F是l的反比例函數，并且當k＞0時，F隨l的增大而減小.
活動與探究
學校準備在校園內修建一個矩形的綠化帶，矩形的面積為定值，它的一邊y與另一邊x之間的函數關系式如下圖所示.
(1)綠化帶面積是多少?你能寫出這一函數表達式嗎?
(2)完成下表，并回答問題：如果該綠化帶的長不得超過40m，那么它的寬應控制在什么范圍內?
x(m) 10 20 30 40
y(m)
過程：點A(40，10)在反比例函數圖象上說明點A的橫縱坐標滿足反比例函數表達式，代入可求得反比例函數k的值.
結果：(1)綠化帶面積為10×40＝400(m2)
設該反比例函數的表達式為y＝kx ，
∵圖象經過點A(40，10)把x＝40，y＝10代入，得10＝k40 ，解得，k＝400.
∴函數表達式為y＝400x .
(2)把x＝10，20，30，40代入表達式中，求得y分別為40，20，403 ，10.從圖中可以看出。若長不超過40m，則它的寬應大于等于10m。
《反比例》數學教案 6
教學目標：
1、理解反比例函數，并能從實際問題中抽象出反比例關系的函數解析式;
2、會畫出反比例函數的圖象，并結合圖象分析總結出反比例函數的性質;
3、滲透數形結合的數學思想及普遍聯系的辨證唯物主義思想;
4、體會數學從實踐中來又到實際中去的研究、應用過程;
5、培養學生的觀察能力，及數學地發現問題，解決問題的能力.
教學重點：
結合圖象分析總結出反比例函數的性質;
教學難點：描點畫出反比例函數的圖象
教學用具：
直尺
教學方法：
小組合作、探究式
教學過程：
1、從實際引出反比例函數的概念
我們在小學學過反比例關系.例如：當路程S一定時，時間t與速度v成反比例
即vt=S(S是常數);
當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S(S是常數)
從函數的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數，寫成：
(S是常數)
(S是常數)
一般地，函數 (k是常數， )叫做反比例函數.
如上例，當路程S是常數時，時間t就是v的反比例函數.當矩形面積S是常數時，長a是寬b的反比例函數.
在現實生活中，也有許多反比例關系的例子.可以組織學生進行討論.下面的例子僅供
2、列表、描點畫出反比例函數的圖象
例1、畫出反比例函數 與 的圖象
解：列表
說明：由于學生第一次接觸反比例函數，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖
一般地反比例函數 (k是常數， )的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.
3、觀察圖象，歸納、總結出反比例函數的性質
前面學習了三類基本的初等函數，有了一定的基礎，這里可視學生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導下完成知識的學習.
顯示這兩個函數的圖象，提出問題：你能從圖象上發現什么有關反比例函數的性質呢?并能從解析式或列表中得到論證.(下列答案僅供參考)
(1) 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k 0時的情形，即k0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.
的討論與此類似.
抓住機會，說明數與形的統一，也滲透了數形結合的數學思想方法.體現了由特殊到一般的`研究過程.
(2)函數 的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小;
從圖象中可以看出，當x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數除法說明了同樣的道理，被除數一定時，若除數大于零，除數越大，商越小;若除數小于零，同樣是除數越大，商越小.由此可歸納出，當k0時，函數 的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小.
同樣可以推出 的圖象的性質.
(3)函數 的圖象不經過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零;如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質.
函數 的圖象性質的討論與次類似.
4、小結：
本節課我們學習了反比例函數的概念及其圖象的性質.大家展開了充分的討論，對函數的概念，函數的圖象的性質有了進一步的認識.數學學習要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯系和發展規律，能數學地發現問題，并能運用已有的數學知識，給以一定的解釋.即數學是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.
5、布置作業
習題13.8 1-4
《反比例》數學教案 7
教學目的：
1、認識反比例關系的意義，理解掌握反比例量的變化規律及其特征，能正確判斷或不成反比例關系。
2.掌握判斷成不成反比例關系的.方法，培養學生判斷、推理能力。
教學過程：
一、新課導入：
學具操作：
按要求拿小棒（共24根）：12根、8根、6根、4根、3根、1根各可拿幾次：并填表
每次取小棒根數12864321
次數234681224
引導學生研究：兩組數量關系中兩種有關聯之間的關系與我們上一課所學內容相同嗎？
二、新課展開：
1、出示例4
根據問題討論：
（1）表中有哪兩種量？
（2）這兩種量是怎樣變化的？
（3）相對應的每兩個數的乘積各是多少？
（4）求出積后，你發現什么規律？
回答上述問題并作點評
提問：這里的240是什么數量？誰能說出這里的數量關系式？想一想這個式子表示什么？
2、學習例5
出示P43三個問題讓學生研究后回答。
老師作小結。
3、概括反比例的意義。
（1）說明什么是反比例的量，它們之間的關系叫反比例關系。
追問：兩種量成不成反比例的關鍵是什么？
如果用X和Y表示這兩種相關聯的量，用R表示他們的乘積，那上面的這種關系怎樣寫呢？
4、具體認識
（1）例4時有哪兩種相關聯的量，它們成反比例關系嗎？為什么？
（2）例5呢？
（3）P46第4題。
5、學習例6
（1）怎樣判斷成不成反比例？
（2）學生嘗試做例6。
老師評講：
三、鞏固練習
1、判斷導入題中的兩種理成不成反比例。
2、P44，練一練，第1、2題
3、P46第6、7題
四、課堂小結
這節課我們學習了什么內容：你懂得了什么？
五、課堂作業
六、課后作業
第5題剩下的題目。
《反比例》數學教案 8
教學目標：
1、理解反比例函數，并能從實際問題中抽象出反比例關系的函數解析式；
2、會畫出反比例函數的圖象，并結合圖象分析總結出反比例函數的性質；
3、滲透數形結合的數學思想及普遍聯系的辨證唯物主義思想；
4、體會數學從實踐中來又到實際中去的研究、應用過程；
5、培養學生的觀察能力，及數學地發現問題，解決問題的能力。
教學重點：
結合圖象分析總結出反比例函數的性質；
教學難點：
描點畫出反比例函數的圖象
教學用具：
直尺
教學方法：
小組合作、探究式
教學過程：
1、從實際引出反比例函數的概念
我們在小學學過反比例關系。例如：當路程S一定時，時間t與速度v成反比例
即vt=S（S是常數）；
當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數）
從函數的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數，寫成：
（S是常數）
（S是常數）
一般地，函數（k是常數，）叫做反比例函數。
如上例，當路程S是常數時，時間t就是v的反比例函數。當矩形面積S是常數時，長a是寬b的反比例函數。
在現實生活中，也有許多反比例關系的例子。可以組織學生進行討論。下面的例子僅供
2、列表、描點畫出反比例函數的圖象
例1、畫出反比例函數與的圖象
解：列表
說明：由于學生第一次接觸反比例函數，無法推測出它的大致圖象。取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖
一般地反比例函數（k是常數，）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線。
3、觀察圖象，歸納、總結出反比例函數的性質
前面學習了三類基本的初等函數，有了一定的基礎，這里可視學生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導下完成知識的學習。
顯示這兩個函數的圖象，提出問題：你能從圖象上發現什么有關反比例函數的性質呢？并能從解析式或列表中得到論證。（下列答案僅供參考）
（1）的圖象在第一、三象限。可以擴展到k 0時的情形，即k0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限。從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限。
的討論與此類似。
抓住機會，說明數與形的統一，也滲透了數形結合的數學思想方法。體現了由特殊到一般的研究過程。
（2）函數的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小；
從圖象中可以看出，當x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢。從列表中也可以看出這樣的變化趨勢。有理數除法說明了同樣的道理，被除數一定時，若除數大于零，除數越大，商越小；若除數小于零，同樣是除數越大，商越小。由此可歸納出，當k0時，函數的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小。
同樣可以推出的圖象的性質。
（3）函數的圖象不經過原點，且不與x軸、y軸交。從解析式中也可以看出。如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零。因此，呈現的`是雙曲線的樣子。同理，抽象出圖象的性質。
函數的圖象性質的討論與次類似。
4、小結：
本節課我們學習了反比例函數的概念及其圖象的性質。大家展開了充分的討論，對函數的概念，函數的圖象的性質有了進一步的認識。數學學習要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯系和發展規律，能數學地發現問題，并能運用已有的數學知識，給以一定的解釋。即數學是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中。
5、布置作業習題13.8 1-4
《反比例》數學教案 9
教學內容：
教材第115頁正、反比例的意義和正、反比例應用題、“練一練”，練習二十二第1、2題。
教學要求：
1、使學生更清楚地認識正比例和反比例關系的特征，能正確判斷成正比例關系或反比例關系的量。
2、使學生進一步掌握正比例和反比例應用題的數量關系、解題思路，能正確地解答成正、反比例關系的應用題，進一步培養學生分析、推理和判斷等思維能力。
教學過程：
一、揭示課題
這節課，復習正、反比例關系和正、反比例應用題。通過復習，要進一步認識正、反比例的意義，掌握正、反比例應用題的數量關系、解題思路和解題方法，能更正確地判斷成正、反比例關系的量，正確地解答正、反比例應用題。
二、復習正、反比例的意義。
1、復習正、反比例的意義。
提問：如果用x和y表示成比例關系的兩種相關聯的量，那么，什么情況下成正比例關系，什么情況下成反比例關系？
想一想，成正比例關系和成反比例關系的兩種量有什么相同點和不同點？
指出：正比例關系和反比例關系的相同點是：都有相關聯的兩種量，一種量隨著另一種量的變化而變化。不同點是：成正比例關系的兩種量中相對應數值的比值一定，成反比例關系的兩種量中相對應數值的積一定。
2、判斷正、反比例關系。
（1）做“練一練”第1題。
指名學生口答。
提問：判斷是不是成比例和成什么比例的根據是什么？
（2）做練習二十二第1題。
指名學生口答。
3、判斷x和y這兩種量成什么關系，為什么？
指出：我們根據正、反比例關系的'特點，可以判斷兩種相關聯的量成什么比例。如果一道題里兩種量成正比例或反比例關系，我們就可以應用比例的知識，根據比值相等或者積相等的數量關系來解答。
三、復習正、反比例應用題。
1、做“練一練”第2題第1題。
讓學生讀題，判斷兩種量成什么比例。
提問：這道題成正比例關系，要根據什么相等來列式解答？
指名一人板演，其余學生做在練習本上。
集體訂正，突出列式的等量關系是比值一定。
2、做“練一練”第2題第（2）題。
指名一人板演，其余學生做在練習本上。
集體訂正。
提問：這道題是怎樣想的？成反比例關系的應用題，要根據什么來列式解答？
3、啟發學生思考：
你認為正比例應用題實際上是我們過去學過的哪一類應用題？反比例應用題是哪一類應用題？
怎樣解答正、反比例應用題？
指出：用比例知識解答應用題，要先判斷兩種相關聯的量成什么比例。如果成正比例，根據比值相等列等式解答；如果成反比例，根據積相等列等式解答。
四、課堂作業
練習二十二第2題
《反比例》數學教案 10
教學內容：
《反比例的意義》是六年制小學數學（北師版）第十二冊第二單元中的內容。是在學過“正比例的意義”的基礎上，讓學生理解反比例的意義，并會判斷兩個量是否成反比例關系，加深對比例的理解。
學生分析：
在此之前，他們學習了正比例的意義，對“相關聯的量”、“成正比例的兩個量的變化規律”、“如何判斷兩個量是否成正比例”已經有了認識，這為學習《反比例的意義》奠定了基礎。
教學目標：
1、知識與技能目標：使學生認識成反比例的量，理解反比例的意義，并學會判斷兩種相關聯的量是否成反比例。進一步培養學生觀察、學析、綜合和概括等能力。初步滲透函數思想。
2、過程與方法：為學生營造一個經歷知識產生過程的情境。
3、情感與態度目標：使學生在自主探索與合作交流中體驗成功的樂趣，進一步增強學好數學的.信心。
教學重點：
理解反比例的意義。
教學難點：
兩種相關聯的量的變化規律。
教學準備：
學生準備：復習正比例關系，預習本節內容。
教師準備：
投影片3張，每張有例題一個。
教學過程設計：
一、談話引入，激發興趣。
1、談話：通過最近一段時間的觀察，我發現同學們越來越聰明了，會學數學了，這是因為同學們掌握了一定的數學學習的基本方法。下面請回想一下，我們是怎樣學習成正比例的量的？這節課我們用同樣的學習方法來研究比例的另外一個規律。
2、導入：在實際生活中，存在著許多相關聯的量，這些相關聯的量之間有的是成正比例關系，有的成其他形式的關系，讓我們一起來探究下面的問題。
二、創設情景引新：
（出示：十二個小方塊）
師：同學們，這十二個小方塊有幾種排法？
（生答后，老師板書下表的排列過程）
每行個數1234612
行數1264321
師：請你觀察上表中每行個數與行數成正比例關系嗎？為什么？
生：……
師：這兩種量這間有關系嗎？有什么關系？這就是我們今天要研究的內容。
（出示課題：反比例的意義）
三、合作自學探知
1、學習例4。
（1）出示例4。
師：請同學們在小組內互相交流，并圍繞這三個問題進行討論，再選出一位組員作代表進行匯報。
A、表中有哪兩種量？
B、怎樣隨著每小時加工的數量變化？
c、每兩個相對應的數的乘積各是多少？
學生討論……
生反饋：……
師：能不能舉出三個例子
生：1020＝6002030＝6003020＝600……
師：這里的600是什么數量？你能說出這里的數量關系式嗎？
生：……
［板書出示：每小時加工數加工時間=零件總數（一定）］
2、自學例5：
（1）出示例5：
師：先請同學們按要求在書上填空，并說說是怎樣算的？根據什么？
生：……
師：模仿例4的方法，提出三個問題自己學習例5（出示三個問題）
生：……
3、討論準備題：
（1）請你根據例4的方法，四人小組內說一說。
（2）請你舉例說明表中每行個數與行數是什么關系？為什么？
四、比較感知特征
綜合例4、例5、準備題的共同點師：比較一下例4、例5和準備題，請同學們在小組中討論一下，互相說說這三個題目有什么共同的特征？
生：……
五、引導概括意義
1、概括反比例意義。
學生在說相同點時老師邊引導邊說明。當學生說出三個特征后，教師板書這三個特征。
師：請同學們根據我們上節課學的正比例的意義猜測一下，符合三個特征的二個量叫做成什么量？相互這間成什么關系？
生：……
師：請閱讀課本第十六頁，同桌互相說說怎樣的兩個量成反比例關系。
學生互相練習……
師：哪位同學來告訴大家，兩種量如果成反比例必須符合哪三個條件？
生：……
師：例4、例5和準備題中的兩種量成不成反比例？為什么？
生：……（學生回答后，老師及時糾正）
師：如果用x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的乘積，那么上面這種關系式可以怎樣寫呢？
生：……［板書出示y=k（一定）］
2、教學例6。
（1）課件出示例6。
（學生讀題、思考）
師：怎樣判斷兩種量成不成反比例？
師：哪位同學說說，每天播種的公頃數和要用的天數是不是成反比例？為什么？
生：因為每天播種的公頃數要用的天數＝播種的總公頃數（一定），所以每天播種的公頃數和要用的天數是成反比例的量。
六、小結：這節課同學們學到了哪些知識？運用了哪些學習方法？還有哪些不懂的問題？
《反比例》數學教案 11
教學目標：
1.使學生理解正比例的意義，會正確判斷成正比例的量。
2.使學生了解表示成正比例的量的圖像特征，并能根據圖像解決有關簡單問題。
教學重點：
正比例的意義。
教學難點：
正確判斷兩個量是否成正比例的關系。
教學過程：
一、揭示課題
1.在現實生活中，我們常常遇到兩種相關聯的量的變化情況，其中一種量變化，另一種量也隨著變化，你以舉出一些這樣的例子嗎？
在教師的此導下，學生會舉出一些簡單的例子，如：
（1）班級人數多了，課桌椅的數量也變多了；人數少了，課桌椅也少了。
（2）送來的牛奶包數多了，牛奶的總質量也多了；包數少了，總質量也少了。
（3）上學時，去的速度快了，時間用少了；速度慢了，時間用多了。
（4）排隊時，每行人數少了，行數就多了；每行人數多了。行數就少了。
2.這種變化的量有什么規律？存在什么關系呢？今天，我們首先來學習成正比例的量。板書：成正比例的量
二、探索新知
1.教學例1
（1）出示例題情境圖。
問：你看到了什么？
生：杯子是相同的。杯中水的高度不同，水的體積也不同，高度越高體積越大；高度越低，體積越小。
（2）出示表格。
高度/㎝24681012
體積/㎝350100150200250300
底面積/㎝2
問：你有什么發現？
學生不難發現：杯子的底面積不變，是25㎝2。
教師：體積與高度的比值一定。
（2）說明正比例的意義。
①在這一基礎上，教師明確說明正比例的意義。
因為杯子的底面積一定，所以水的體積隨著高度的變化而變化。水的高度增加，體積也相應增加，水的高度降低，體積也相應減少，而且水的體積和高度的比值一定。
板書出示：像這樣，兩種相關聯的量，一種量變化，另一種子量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定，這兩種理就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。
②學生讀一讀，說一說你是怎么理解正比例關系的.。
要求學生把握三個要素：
第一，兩種相關聯的量；
第二，其中一個量增加，另一個量也增加；一個量減少，另一個量也減少。
第三，兩個量的比值一定。
（3）用字母表示。
如果用字母X和Y表示兩種相關聯的量，用K表示它們的比值（一定），比例關系可以用正的式子表示：
（4）想一想：
師：生活中還有哪些成正比例的量？
學生舉例說明。如：
長方形的寬一定，面積和長成正比例。
每袋牛奶質量一定，牛奶袋數和總質量成正比例。
衣服的單價一不定期，購買衣服的數量和應付錢數成正比例。
地磚的面積一定，教室地板面積和地磚塊數成正比例。
2.教學例2。
（1）出示表格（見書）
（2）依據下表中的數據描點。（見書）
（3）從圖中你發現了什么？
這些點都在同一條直線上。
（4）看圖回答問題。
①如果杯中水的高度是7㎝，那么水的體積是多少？
生：175㎝3。
②體積是225㎝3的水，杯里水面高度是多少？
生：9㎝。
③杯中水的高度是14㎝，那么水的體積是多少？描出這一對應的點是否在直線上？
生：水的體積是350㎝3，相對應的點一定在這條直線上。
（5）你還能提出什么問題？有什么體會？
通過交流使學生了解成正比例量的圖像特往。
3.做一做。
過程要求：
（1）讀一讀表中的數據，寫出幾組路程和時間的比，說一說比值表示什么？
比值表示每小時行駛多少千米。
（2）表中的路程和時間成正比例嗎？為什么？
成正比例。理由：
①路程隨著時間的變化而變化；
②時間增加，路程也增加，時間減少，路程也隨著減少；
③種程和時間的比值（速度）一定。
（3）在圖中描出表示路程和時間的點，并連接起來。有什么發現？所描的點在一條直線上。
（4）行駛120KM大約要用多少時間？
（5）你還能提出什么問題？
4.課堂小結
說一說成正比例關系的量的變化特征。
三鞏固練習
完成課文練習七第1～5題。
《反比例》數學教案 12
教學內容：
成反比例的量
教學目標：
1.經歷探索兩種相關聯的量的變化情況過程，發現規律，理解反比例的意義。
2.根據反比例的意義，正確判斷兩種量是否成反比例。
教學重點：
反比例的意義。
教學難點：
正確判斷兩種量是否成反比例。
教學過程：
1.讓學生說一說成正比例的兩種量的變化規律。
回答要點：
（1）兩種相關聯的`量；
（2）一個量增加，另一個量也相應增加；一個量減少，另一個量也相應減少；
（3）兩個量的比值一定。
2.舉例說明。
如：每袋大米質量相同，大米的袋數與總質量成正比例。
理由：
（1）每袋大米質量一定，大米的總質量隨著袋數的變化而變化；
（2）大米的袋數增加，大米的總質量也相應增加，大米的袋數
減少，大米的總質量也相應減少；
（3）總質量與袋數的比值一定。
所以，大米的袋數與總質量成正比例。
3.揭示課題。
今天，我們一起來學習反比例。兩種量是什么樣的關系時，這兩種量成反比例呢？
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