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復(fù)數(shù)的加法與減法
教學(xué)目標(biāo)
（1）掌握復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行加、減法運(yùn)算；
�。�2）理解并掌握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義，會(huì)用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；
�。�3）能初步運(yùn)用復(fù)平面兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題；
（4）通過學(xué)習(xí)平行四邊形法則和三角形法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
（5）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）．
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)加法法則。難點(diǎn)是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。復(fù)數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則，它是復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的基礎(chǔ)，對(duì)于這個(gè)規(guī)定的合理性，在教學(xué)過程中要加以重視。復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的難點(diǎn)在于復(fù)數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法，以它為根據(jù)來解決某些平面圖形的問題，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)不容易接受。
三、教學(xué)建議
（1）在復(fù)數(shù)的加法與減法中，重點(diǎn)是加法．教材首先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則．對(duì)于這個(gè)規(guī)定，應(yīng)通過下面幾個(gè)方面，使學(xué)生逐步理解這個(gè)規(guī)定的合理性：①當(dāng) 時(shí)，與實(shí)數(shù)加法法則一致；②驗(yàn)證實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律在復(fù)數(shù)集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則．
�。�2）復(fù)數(shù)加法的向量運(yùn)算講解設(shè) ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學(xué)生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么，即求點(diǎn)Z的坐標(biāo)OR與RZ（證法如教材所示）．
（3）向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)加法的三角形法則．講過復(fù)數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來進(jìn)行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進(jìn)行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和．這時(shí)先畫出第一個(gè)向量 ，再以 的終點(diǎn)為起點(diǎn)畫出第二個(gè)向量 ，那么，由第一個(gè)向量起點(diǎn)O指向第二個(gè)向量終點(diǎn)Z的向量 ，就是這兩個(gè)向量的和向量．
�。�4）向?qū)W生指出復(fù)數(shù)加法的三角形法則的好處．向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當(dāng) 與 在同一直線上時(shí)，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個(gè)壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復(fù)數(shù)減法的幾何意義時(shí)，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便．
�。�5）講解了教材例2后，應(yīng)強(qiáng)調(diào) （注意：這里 是起點(diǎn)， 是終點(diǎn)）就是同復(fù)數(shù) － 對(duì)應(yīng)的向量．點(diǎn) ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復(fù)數(shù) － 的模，即 ．
例如，起點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)－1、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù) 的那個(gè)向量（如圖），可用 來表示．因而點(diǎn) 與 （ ）點(diǎn)間的距離就是復(fù)數(shù) 的模，它等于 。
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義
教學(xué)目標(biāo)
1．理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義．
2．滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題能力．
3．培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）．
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：復(fù)數(shù)減法法則．
難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用．
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）引入新課
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義．（板書課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）
（二）復(fù)數(shù)減法
復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，
1．復(fù)數(shù)減法法則
�。�1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算；
�。�2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）．
把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導(dǎo)這個(gè)法則．
（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i．
推導(dǎo)的想法和依據(jù)把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算．
推導(dǎo)：設(shè)（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）．即復(fù)數(shù) + i為復(fù)數(shù) + i減去復(fù)數(shù) + i的差．由規(guī)定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據(jù)加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得
故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i．這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù)．
我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù)．是唯一確定的復(fù)數(shù)．
復(fù)數(shù)的加（減）法與多項(xiàng)式加（減）法是類似的．就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．
（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義
我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？
設(shè)z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），對(duì)應(yīng)向量分別為 ， 如圖
由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以 為一條對(duì)角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復(fù)數(shù)z-z1的差（ - ）+（ - ）i對(duì)應(yīng)，如圖．
在這個(gè)平行四邊形中與z-z1差對(duì)應(yīng)的向量是只有向量 2嗎？
還有 ． 因?yàn)镺Z2 Z1Z，所以向量 ，也與z-z1差對(duì)應(yīng)．向量 是以Z1為起點(diǎn)，Z為終點(diǎn)的向量．
能概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z-z1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng)．
（四）應(yīng)用舉例
在直角坐標(biāo)系中標(biāo)Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數(shù)z1對(duì)應(yīng)，標(biāo)點(diǎn)Z2（3，2），Z2關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Z2（3，-2），向量 2與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，連接，向量與的差對(duì)應(yīng)（如圖）．
例2 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，求復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式．
解：設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)Z1，Z2分別表示復(fù)數(shù)z1，z2，那么Z1Z2就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，點(diǎn)之間的距離就是向量的模，即復(fù)數(shù)z2-z1的模．如果用d表示點(diǎn)Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|．
例3 在復(fù)平面內(nèi)，滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模．
幾何意義是是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（1，1）間的距離．方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（-2，-1）間距離．這個(gè)方程表示的是到兩點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線．
�。�2）|z+i|+|z-i|=4；
方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動(dòng)點(diǎn)軌跡．滿足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
這個(gè)方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個(gè)定點(diǎn)（-2，0），（2，0）距離差等于1的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)軌跡是雙曲線．是雙曲線右支．
由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程．使有些曲線方程形式變得更為簡捷．且反映曲線的本質(zhì)特征．
例4 設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z= + i對(duì)應(yīng)，定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p= + i對(duì)應(yīng)．求
（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；
解：設(shè)定點(diǎn)P為圓心，r為半徑，如圖
由圓的定義，得復(fù)平面內(nèi)圓的方程|z-p|=r．
�。�2）復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？
解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．利用復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．
（五）小結(jié)
我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．
（六）布置作業(yè)P193習(xí)題二十七：2，3，8，9．
探究活動(dòng)
復(fù)數(shù)等式的幾何意義
復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示以 為圓心，以1為半徑的圓。請(qǐng)?jiān)倥e三個(gè)復(fù)數(shù)等式并說明它們?cè)趶?fù)平面上的幾何意義。
分析與解
1． 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示線段 的中垂線。
2． 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示一個(gè)橢圓。
3． 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示一條線段。
4． 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示雙曲線的一支。
5． 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示原點(diǎn)為O、 構(gòu)成一個(gè)矩形。
說明 復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如果我們對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式工（幾何意義）之
間的關(guān)系比較熟悉的話，必然會(huì)強(qiáng)化對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的掌握。
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