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排列、組合、二項式定理的教案
排列、組合、二項式定理的教案
一．課標要求：
1．分類加法計數原理、分步乘法計數原理
通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題；
2．排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解決簡單的實際問題；
3．二項式定理
能用計數原理證明二項式定理； 會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
二．命題走向
本部分內容主要包括分類計數原理、分步計數原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數和組合數公式，排列和組合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數及二項式系數和。
排列、組合不僅是高中數學的重點內容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數學的重點內容，也是高考每年必考內容，新高考會繼續考察。
考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結合出現在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。
三．要點精講
1．排列、組合、二項式知識相互關系表
2．兩個基本原理
（1）分類計數原理中的分類；
（2）分步計數原理中的分步；
正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。
3．排列
（1）排列定義，排列數
（2）排列數公式：系 = =n·(n－1)…(n－m+1)；
（3）全排列列： =n!；
（4）記住下列幾個階乘數：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．組合
（1）組合的定義，排列與組合的區別；
（2）組合數公式：Cnm= = ；
（3）組合數的性質
①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；
5．二項式定理
（1）二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；
（2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；
6．二項式的應用
（1）求某些多項式系數的和；
（2）證明一些簡單的組合恒等式；
（3）證明整除性。①求數的末位；②數的整除性及求系數；③簡單多項式的整除問題；
（4）近似計算。當|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。
四．典例解析
題型1：計數原理
例1．完成下列選擇題與填空題
（1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有 種。
A．81 B．64 C．24 D．4
（2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．4
（3）有四位學生參加三項不同的競賽，
①每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有 ；
②每項競賽只許有一位學生參加，則有不同的參賽方法有 ；
③每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有 。
例2．（06江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有 種不同的方法（用數字作答）。
點評：分步計數原理與分類計數原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎方法，在高中數學中，只有這兩個原理，尤其是分類計數原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的。
題型2：排列問題
例3．（1）（2008四川理卷13）
展開式中 的系數為?______ _________。
【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數，以及組合思想；
（2）．2008湖南省長沙云帆實驗學校理科限時訓練
若 n展開式中含 項的系數與含 項的系數之比為－5，則n 等于 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
點評：合理的應用排列的公式處理實際問題，首先應該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應該如何去做。
例4．（1）用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字的五位數，則其中數字1，2相鄰的偶數有 個（用數字作答）；
（2）電視臺連續播放6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結果用數值表示）.
點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復雜的問題都是以排列公式為輔助。
題型三：組合問題
例5．荊州市2008屆高中畢業班質量檢測（Ⅱ）
（1）將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有黑球，且每個盒子中都不能同時只放入2個白球和2個黑球，則所有不同的放法種數為（C） A.3 B.6 C.12 D.18
（2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．36種 D．52種
點評：計數原理是解決較為復雜的排列組合問題的基礎，應用計數原理結合
例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有 種；
（2）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（ ）
（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種
點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復雜問題，諸如分組問題等；
題型4：排列、組合的綜合問題
例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點的個數（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。
點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。
例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數。
點評：本題是1999年全國高中數學聯賽中的一填空題，據抽樣分析正確率只有0.37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現重復的直線。
題型5：二項式定理
例9．（1）（2008湖北卷）
在 的展開式中， 的冪的指數是整數的項共有
A．3項 B．4項 C．5項 D．6項
（2） 的展開式中含x 的正整數指數冪的項數是
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
點評：多項式乘法的進位規則。在求系數過程中,盡量先化簡，降底數的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數項，可令 .在二項式的展開式中，要注意項的系數和二項式系數的區別。
例10． （2008湖南文13）
記 的展開式中第m項的系數為 ，若 ，則 =____5______.
題型6：二項式定理的應用
例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數；
（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數是多少？
（3）根據下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。
點評：（1）用二項式定理來處理余數問題或整除問題時，通常把底數適當地拆成兩項之和或之差再按二項式定理展開推得所求結論；
（2）用二項式定理來求近似值，可以根據不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。
五．思維總結
解排列組合應用題的基本規律
1．分類計數原理與分步計數原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯合使用。
2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。
3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：
（1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；
（2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；
（3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數，再減去不滿足限制條件的排列數。
4．對解組合問題，應注意以下三點：
（1）對“組合數”恰當的分類計算，是解組合題的常用方法；
（2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；
（3）設計“分組方案”是解組合題的關鍵所在。
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