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下學(xué)期 5.4 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1
（第一課時(shí)）
一．教學(xué)目標(biāo)
1．理解平面向量的坐標(biāo)的概念，會(huì)寫出給定向量的坐標(biāo)，會(huì)作出已知坐標(biāo)表示的向量；
2．掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；
3．通過學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力.
二．教學(xué)重點(diǎn) 理解平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
教學(xué)難點(diǎn) 對(duì)平面向量坐標(biāo)表示的理解．
三．教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺、投影儀
四．教學(xué)過程
1．設(shè)置情境
師：平面內(nèi)有點(diǎn) ，點(diǎn) ，能否用坐標(biāo)來表示向量 呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
（板書課題）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
2．探索研究
（1）師：平面向量的基本定理的內(nèi)容是什么？什么叫平面向量的基底？
生：如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，使
我們把不共線的向全 、 叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，這就是平面向全的基本定理．
師：如果在直角坐標(biāo)系下，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得
我們就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作；
這就叫做向量的坐標(biāo)表示
顯然i＝（1，0） j＝（0，1） 0＝（0，0）
如圖（1）所示，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)與向量a相等的向量 ，則A點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo)，反之設(shè) ，則點(diǎn)A的坐標(biāo)（x，y）也就是向量 的坐標(biāo)．
問題： 1°已知 (x1, y1) (x2, y2) 求 + ， - 的坐標(biāo)
2°已知 (x, y)和實(shí)數(shù)λ, 求λ 的坐標(biāo)
解： + =(x1 +y1 )+( x2 +y2 )=(x1+ x2) + (y1+y2)
即： + =(x1+ x2, y1+y2)
同理： - =(x1- x2, y1-y2)結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。
同理可得：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。
用減法法則：
∵ = - =( x2, y2) - (x1, y1)
= (x2- x1, y2- y1)
實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知 =(x, y) 實(shí)數(shù)λ
則λ =λ(x +y )=λx +λy
∴λ =(λx, λy)
結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。
師：如果兩個(gè)向量相等，那么這兩個(gè)向量的坐標(biāo)需滿足什么條件呢？是充要條件嗎？
生：a=b ．
（2）例題分析
【例1】 如圖所示，用基底i、j分別表示向量a、b、c、d并求出它們的坐標(biāo)。
解：
師：平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來運(yùn)算嗎？如何計(jì)算？
（1）已知 ，求 、 。
（2）已知 和實(shí)數(shù) ，求 的坐標(biāo)（由學(xué)生完成）。
解：（1）
∴
（2）
∴
師：通過以上計(jì)算，你能得出向量運(yùn)算的加法法則、減法法則和實(shí)數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算法則嗎？
生：兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)的坐標(biāo)的和與差，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
【例2】 已知 ，求 ， ， 的坐標(biāo)。
解：
【例3】 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
解：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
由 得
由
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）
3．演練反饋。（投影儀）
（1）已知三個(gè)力 的合力 ，求 的坐標(biāo)。
（2）已知向量 ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求
①t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？
②四邊形OABP能成為平行四邊形嗎？若能，求出相應(yīng)的t值，若不能，請(qǐng)說明理由。
參考答案：
（1）
∴
（2）B．
（3）① ，若P在x軸上，只需 ；若P在y軸上，只需 ∴ ；若P在第二象限，則需 解得 。
②
若OABP為平行四邊形，需
于是 無解。故四邊形OABP不能成為平行四邊形。
4．總結(jié)提煉
（1）引進(jìn)向量的坐標(biāo)后，向量的基本運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算，可以解方程，可以解不等式，總之問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域之中。
（2）要把點(diǎn)坐標(biāo) 與向量坐標(biāo)區(qū)分開來，兩者不是一個(gè)概念。
五．板書設(shè)計(jì)
1．平面向量的坐標(biāo)定義。
（1）
（2）i、j的含義
（3） 是a的坐標(biāo)
2．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算
例1
例2
演練反饋
總結(jié)提煉
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