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下學期 4．6 兩角和與差的正弦、余弦、正切2
4．6兩角和與差的正弦、余弦、正切（第二課時）
（一）教學具準備
投影儀
（二）教學目標
1．掌握利用 得到的兩角和與差的正弦公式．
2．運用 公式進行三角式的求值、化簡及證明．
（三）教學過程
1．已知 兩角，我們可以利用 的三角函數(shù)去計算復合角 的余弦，那么，我們能否用 的三角函數(shù)去表達復合角 的正弦呢？本節(jié)課將研究這一問題．
2．探索研究
（1）請一位同學在黑板上寫出 ， 的展開式．
．
由于公式中的 是任意實數(shù)，故我們對 實施特值代換后并不影響等號成立，為此我們曾令 ，得到 ，
兩個熟悉的誘導公式，請同學們嘗試一下，能否在 中對 選取特殊實數(shù)代換，使 誘變成 呢？或者說能否把 改成用余弦函數(shù)來表示呢？請同學回答．
生：可以，因為
該同學的思路非常科學，這樣就把新問題 問題化歸為老問題： ．
事實上： （視“ ”為 ）
這樣，我們便得到公式．
簡化為 ．
由于公式中的 仍然是一切實數(shù)，請同學們再想一下，如何獲得 的展開式呢？請同學回答．
生：只要在公式 中用 代替 ，就可得到：
即
師：由此得到兩個公式：
對于公式 還可以這樣來推導：
說明：
（1）上述四個公式 ，雖然形式、結(jié)構(gòu)不同，但它們本質(zhì)是相同的，因為它們同出一脈：
這樣我們只要牢固掌握“中心”公式 的由來及表達方式，就掌握了其他三個公式了．這要作為一種數(shù)學思想、一個數(shù)學方法來仔細加以體會．
（2） 、 是用 的單角函數(shù)表達復合角 的正、余弦．反之，我們不得不注意，作為公式的逆用，我們也可以用復合角 的三角函數(shù)來表達單角三角函數(shù)．諸如： ， ， 及 四種表達式，實質(zhì)上是方程思想的體現(xiàn)：
由 得：
①
由 得
②
由 ，得：
③
由 得：
④
等式①、②、③、④在求值、證明恒等式中無疑作用是十分重大的．
（2）例題分析
【例1】 不查表，求 ， 的值．
解：
說明：我們也可以用 系統(tǒng)來做：
【例2】已知， ， ， ， 求， ．
分析：觀察公式 和本題的條件，必須先算出 ，
解：由 ， 得
又由 ， 得
∴
【例3】不查表求值：
（1） ；
（2） ．
解：（1）
（2）
練習（投影）
（1） ， ，則 ．
（2）在△ 中，若 ，則△ 是___________．
參考答案：
（1）∴
∴
（2）由 ，
∴
∴ ， 為鈍角，即△ 是鈍角三角形．
【例4】求證： ．
分析：我們從角入手來分析，易見左邊有復角（即兩角和與差）右邊全是單角，所以思路明確，就是要把復角變單角．
證明：
左邊
右 ∴原式成立
如果我們本著逆用公式來看待本題，那么還可這樣想：
由
令 ， 則
①
至于
我們可這樣分析：
∵
令 得
同理
∴①可進一步改寫為：
∴ ……②
又∵
……③
由②、③得
本題還可以從函數(shù)名稱來分析，左邊是正、余弦函數(shù)，右邊是正切函數(shù)，故可考慮從右邊入手用化弦法，請同學們自己把上面過程反過來，從右邊推出左邊．
【例5】求證：
師：本題我們可以從角的形式來分析，左邊是單角，右邊是復角，如果從右邊證左邊則要把復角變單角（即利用和角公式）；如果從左邊證右邊則須配一個角 ，所以本題起碼有兩種證法．
證法1：右邊
左邊
∴原式成立
師：另一種證法根據(jù)剛才的分析要配出角 ，怎樣配？大家仔細觀察證法一就不難發(fā)現(xiàn)了．
證法2：（學生板書）
左邊
右邊 ∴原式成立
3．演練反饋（投影）
（1）化簡
（2）已知 ，則 的值（ ）
A．不確定，可在［0、1］內(nèi)取值 B．不確定，可在［－1、1］中取值
C．確定，等于1 D．確定，等于1或－1
參考答案：
（1）原式
（2）C
4．總結(jié)提煉
（1）利用“拆角”“湊角”變換是進行三角函數(shù)式求值、證明、化簡的常用技巧，如： ， ， ．在三角形中， ， 等變換技巧，同學們應(yīng)十分熟悉．
（2）本節(jié)課的例5，代表著一類重要題型，同學們要學習它的湊角方法，一般地 ，其中 ．
（3）在恒等式中，實施特值代換，是一類重要的數(shù)學方法——母函數(shù)法，這種方法在數(shù)學的其他學科中，均有用武之地。它反映的是特殊與一般的辨證統(tǒng)一關(guān)系．
（四）板書設(shè)計
課題：兩角和與差的正弦
1．公式推導
①
＝……
得到公式………
把公式中 換成 得公式………
2．公式的結(jié)構(gòu)特點
用單角函數(shù)表示復角函數(shù)
右邊中兩個積的函數(shù)名稱不同
……運算符號同左邊括號
中的運算符號一致（區(qū)別于 、 ）
3．折、湊角技巧
例1
例2
例3
例4
例5
演練反饋
總結(jié)提煉
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