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下學期>>4.3 任意角的三角函數
任意角的三角函數
教學目標：
1．通過對初中銳角三角函數定義的回憶，掌握任意角三角函數的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數值．
2．掌握已知角 終邊上一點坐標，求四個三角函數值．（即給角求值問題）
教學重點：
任意角的三角函數的定義．
教學難點：
任意角的三角函數的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數的幾何表示．
教學用具：
直尺、圓規、投影儀．
教學步驟：
1．設置情境
角的范圍已經推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數呢？本節課就來討論這一問題．
2．探索研究
（1）復習回憶銳角三角函數
我們已經學習過銳角三角函數，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數，本節課我們研究當角 是一個任意角時，其三角函數的定義及其幾何表示．
（2）任意角的三角函數定義
如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為 ，則 ．
定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．
�、诒戎� 叫做 的余弦，記作 ，即 ．
圖1
③比值 叫做 的正切，記作 ，即 ．
同時提供顯示任意角的三角函數所在象限的課件
提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關呢？
利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關，只與角 的大小有關．
請同學們觀察當 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點 的橫坐標 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．
�、鼙戎� 叫做 的余切，記作 ，則 ．
⑤比值 叫做 的正割，記作 ，則 ．
�、薇戎� 叫做 的余割，記作 ，則 ．
可以看出：當 時， 的終邊在 軸上，這時 的縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實數，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數值的函數，以上六種函數統稱三角函數．
（3）三角函數是以實數為自變量的函數
對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應的比值各是一個確定的實數，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數，這是一個實數，所以這幾種三角函數也都可以看成是以實數為自變量，以比值為函數值的函數．
即：實數→角（其弧度數等于這個實數）→三角函數值（實數）
（4）三角函數的一種幾何表示
利用單位圓有關的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3．
圖3
設任意角 的頂點在原點 ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點 ，過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點 作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角 的終邊（當 為第一、四象限時）或其反向延長線（當 為第二、三象限時）相交于 ，當角 的終邊不在坐標軸上時，我們把 ， 都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數的定義有：
這幾條與單位圓有關的有向線段 叫做角 的正弦線、余弦線、正切線．當角 的終邊在 軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當角 的終邊在 軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．
（5）例題講評
【例1】已知角 的終邊經過 ，求 的六個三角函數值（如圖4）．
解：∵
∴
提問：若將 改為 ，如何求 的六個三角函數值呢？（分 ， 兩種情形討論）
【例2】求下列各角的六個三角函數值
�。�1） ；（2） ；（3） ．
解：（1）∵當 時， ，
∴ ， ，
不存在， ， 不存在
�。�2）∵當 時， ，
∴ ，
不存在
不存在
�。�3）當 時， ，
∴
不存在 不存在
【例3】作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線．（1） ；（2） ．
解： ， 的正弦線，余弦線，正切線分別為 ．
【例4】求證：當 為銳角時， ．
證明：如右圖，作單位圓，當 時作出正弦線 和正切線 ，連
∵
∴
∴
利用三角函數線還可以得出如下結論
的充要條件是 為第一象限角．
的充要條件是 為第三象限角．
練習（學生板演，利用投影儀）
�。�1）角 的終邊在直線 上，求 的六個三角函數值．
�。�2）角 的終邊經過點 ，求 ， ， ， 的值．
�。�3）說明 的理由． ．
解答：
（1）先確定終邊位置
�、偃� 在第一象限，在其上任取一點 ， ，則
，
�、谌� 在第三象限，在終邊上任取一點 ，則
，
�。�2）若 ，不妨令 ，則 在第二角限
∴
�。�3）在 終邊上任取一點 ，因為 與 終邊相同，故 也為角 終邊上一點，所以 成立．
說明：以后會知道，求三角函數值的方法有多種途徑．用定義求角 的三角函數值，是基本方法之一．當角終邊不確定時，要首先確定終邊位置，然后再在終邊上取一個點來計算函數值．
3．反饋訓練
（1）若角 終邊上有一點 ，則下列函數值不存在的是（ ）．
A． B． C． D．
（2）函數 的定義域是（ ）．
A． B．
C． D．
（3）若 ， 都有意義，則 ．
（4）若角 的終邊過點 ，且 ，則 ．
參考答案：（1）D；（2）B；（3） 或8，說明點 在半徑為 的圓上；（4）－6．
4．本課小結
利用定義求三角函數值，首先要建立直角坐標系，角頂點和始邊要按既定的位置設置．角 的三角函數定義式，其實是比例的化身，它的背后是相似形在支稱著，不過這個定義具有一般性，如軸上角的三角函數，如果沒有定義作為論據，欲求其函數性就不是很容易．
分類討論（角位置）是三角函數求值過程中，使用頻率非常高的一個數學思想，而分類標準往往是四個象限及四個坐標半軸．
課時作業：
1．已知角 的終邊經過下列各點，求角 的六個三角函數值．
（1） （2）
2．計算
（1）
�。�2）
�。�3）
�。�4）
3．化簡
�。�1）
�。�2）
（3）
（4）
參考答案：
1．（1） ， ，
， ，
，
�。�2） ， ，
， ，
，
2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）
3．（1）0；（2） ；（3） ；（4）
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