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數(shù)學(xué)教案－切線的判定和性質(zhì)
切線的判定和性質(zhì)（一）
教學(xué)目標(biāo)：
1、使學(xué)生深刻理解切線的判定定理，并能初步運(yùn)用它解決有關(guān)問(wèn)題；
2、通過(guò)判定定理和切線判定方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問(wèn)題的能力；
3、通過(guò)學(xué)生自己實(shí)踐發(fā)現(xiàn)定理，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性．
教學(xué)重點(diǎn)：切線的判定定理和切線判定的方法；
教學(xué)難點(diǎn)：切線判定定理中所闡述的由位置來(lái)判定直線是圓的切線的兩大要素：一是經(jīng)過(guò)半徑外端；二是直線垂直于這條半徑；學(xué)生開(kāi)始時(shí)掌握不好并極容易忽視．
教學(xué)過(guò)程（www.baimashangsha.com）設(shè)計(jì)
（一）復(fù)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題
1．直線與圓的三種位置關(guān)系
在圖中，圖(1)、圖(2)、圖(3)中的直線l和⊙O是什么關(guān)系?
２、觀察、提出問(wèn)題、分析發(fā)現(xiàn)（教師引導(dǎo)）
圖(2)中直線l是⊙O的切線，怎樣判定？根據(jù)切線的定義可以判定一條直線是不是圓的切線，但有時(shí)使用定義判定很不方便．我們從另一個(gè)側(cè)面去觀察，那就是直線和圓的位置怎樣時(shí)，直線也是圓的切線呢?
如圖，直線l到圓心O的距離OA等于圓O的半徑，直線l是⊙O的切線．這時(shí)我們來(lái)觀察直線l與⊙O的位置．
發(fā)現(xiàn)：(1)直線l經(jīng)過(guò)半徑OC的外端點(diǎn)C；(2)直線l垂直于半徑0C．這樣我們就得到了從位置上來(lái)判定直線是圓的切線的方法——切線的判定定理．
（二）切線的判定定理：
1、切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
2、對(duì)定理的理解：
引導(dǎo)學(xué)生理解：①經(jīng)過(guò)半徑外端；②垂直于這條半徑．
請(qǐng)學(xué)生思考：定理中的兩個(gè)條件缺少一個(gè)行不行?定理中的兩個(gè)條件缺一不可．
圖(1)中直線了l經(jīng)過(guò)半徑外端，但不與半徑垂直；圖(2)（3）中直線l與半徑垂直，但不經(jīng)過(guò)半徑外端．
從以上兩個(gè)反例可以看出，只滿足其中一個(gè)條件的直線不是圓的切線．
（三）切線的判定方法
教師組織學(xué)生歸納．切線的判定方法有三種：
①直線與圓有唯一公共點(diǎn)；②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；③切線的判定定理．
（四）應(yīng)用定理，強(qiáng)化訓(xùn)練
例1已知：直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA＝CB．
求證：直線AB是⊙O的切線．
分析：欲證AB是⊙O的切線．由于AB過(guò)圓上點(diǎn)C，若連結(jié)OC，則AB過(guò)半徑OC的外端，只需證明OC⊥OB。
證明：連結(jié)0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底邊AB上的中線．
∴AB⊥OC．
直線AB經(jīng)過(guò)半徑0C的外端C，并且垂直于半徑0C，所以AB是⊙O的切線．
練習(xí)1判斷下列命題是否正確．
(1)經(jīng)過(guò)半徑外端的直線是圓的切線．
(2)垂直于半徑的直線是圓的切線．
(3)過(guò)直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．
(4)和圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線．
(5)以等腰三角形的頂點(diǎn)為圓心，底邊上的高為半徑的圓與底邊相切．
采取學(xué)生搶答的形式進(jìn)行，并要求說(shuō)明理由，
練習(xí)P106，1、2
目的：使學(xué)生初步會(huì)應(yīng)用切線的判定定理，對(duì)定理加深理解）
（五）小結(jié)
1、知識(shí)：切線的判定定理．著重分析了定理成立的條件，在應(yīng)用定理時(shí)，注重兩個(gè)條件缺一不可．
2、方法：判定一條直線是圓的切線的三種方法：
(1)根據(jù)切線定義判定．即與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線。
(2)根據(jù)圓心到直線的距離來(lái)判定，即與圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線．
(3)根據(jù)切線的判定定理來(lái)判定．
其中(2)和(3)本質(zhì)相同，只是表達(dá)形式不同．解題時(shí)，靈活選用其中之一．
3、能力：初步會(huì)應(yīng)用切線的判定定理．
（六）作業(yè)P115中2、4、5；P117中B組1．
切線的判定和性質(zhì)（二）
教學(xué)目標(biāo)：
1、使學(xué)生理解切線的性質(zhì)定理及推論；
2、通過(guò)對(duì)圓的切線位置關(guān)系的觀察，培養(yǎng)學(xué)生能從幾何圖形的直觀位置歸納出幾何性質(zhì)的能力；
教學(xué)重點(diǎn)：切線的性質(zhì)定理和推論1、推論2．
教學(xué)難點(diǎn)：利用“反證法”來(lái)證明切線的性質(zhì)定理．
教學(xué)設(shè)計(jì)：
（一）基本性質(zhì)
1、觀察：（組織學(xué)生，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)）
2、歸納：（引導(dǎo)學(xué)生完成）
(1)切線和圓有唯一公共點(diǎn)；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；
猜想：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．
引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“反證法”證明．分三步：
(1)假設(shè)切線AT不垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑OA，
(2)同時(shí)作一條AT的垂線OM．通過(guò)證明得到矛盾，OM＜OA這條半徑．則有直線和圓的位置關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系，得AT和⊙O相交與題設(shè)相矛盾．
(3)承認(rèn)所要的結(jié)論AT⊥AO．
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．
指出：定理中題設(shè)和結(jié)論中涉及到的三個(gè)要點(diǎn)：切線、切點(diǎn)、垂直．
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：
推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．
推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．
引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論問(wèn)的關(guān)系，總結(jié)出如下結(jié)論：
如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè)．
(1)垂直于切線；
(2)過(guò)切點(diǎn)；
(3)過(guò)圓心．
(二)歸納切線的性質(zhì)
(1)切線和圓有唯一公共點(diǎn)；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）
(3)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；（切線的性質(zhì)定理）
(4)經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；（推論1）
(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心．（推論2）
（三）應(yīng)用舉例，強(qiáng)化訓(xùn)練．
例1、如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D．
求證：AC平分∠DAB．
引導(dǎo)學(xué)生分析：條件CD是⊙O的切線，可得什么結(jié)論；由AD⊥CD，又可得什么．
證明：連結(jié)OC．
∴AC平分∠DAB．
例2、求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)的線段是直徑。
已知：AB、CD是⊙O的兩條切線，E、F為切點(diǎn),且AB∥CD
求證：連結(jié)E、F的線段是直徑。
證明：連結(jié)EO并延長(zhǎng)
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD．
∵CD是⊙O切線，F(xiàn)為切點(diǎn)，∴OE必過(guò)切點(diǎn)F
∴EF為⊙O直徑
強(qiáng)化訓(xùn)練：P109，1
3、求證：經(jīng)過(guò)直徑兩端點(diǎn)的切線互相平行。
已知：AB為⊙O直徑，MN、CD為⊙O切線，切點(diǎn)為A、B
求證：MN∥CD
證明：∵M(jìn)N切⊙O于A，AB為⊙O直徑
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B為半徑外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD．
（四）小結(jié)
1、知識(shí)：切線的性質(zhì)：
(1)切線和圓有唯一公共點(diǎn)；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）
(3)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；（切線的性質(zhì)定理）
(4)經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；（推論1）
(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心．（推論2）
2、能力和方法：
凡是題目中給出切線的切點(diǎn)，往往“連結(jié)”過(guò)切點(diǎn)的半徑．從而運(yùn)用切線的性質(zhì)定理，產(chǎn)生垂直的位置關(guān)系．
（五）作業(yè)教材P109練習(xí)2；教材P116中7．
切線的判定和性質(zhì)（三）
教學(xué)目標(biāo)：
1、使學(xué)生學(xué)能靈活運(yùn)用切線的判定方法和切線的性質(zhì)證明問(wèn)題；
2、掌握運(yùn)用切線的性質(zhì)和切線的判定的有關(guān)問(wèn)題中輔助線引法的基本規(guī)律；
3、通過(guò)對(duì)切線的綜合型例題分析和論證，激發(fā)學(xué)生的思維．
教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)切線的判定方法及其性質(zhì)的準(zhǔn)確、熟煉、靈活地運(yùn)用．
教學(xué)難點(diǎn)：綜合型例題分析和論證的思維過(guò)程．
教學(xué)設(shè)計(jì)：
（一）復(fù)習(xí)與歸納
1、切線的判定
切線的判定方法有三種：
①直線與圓有唯一公共點(diǎn)；
②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；
③切線的判定定理．即經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
2、切線的性質(zhì)：
(1)切線和圓有唯一公共點(diǎn)；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）
(3)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；（切線的性質(zhì)定理）
(4)經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；（推論1）
(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心．（推論2）
(二)靈活應(yīng)用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD．求證：DC是⊙O的切線．
證明：連結(jié)OD．
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．
∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切線．
例2（P110例4）、如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB和CD相等，且AB與小圓相切于點(diǎn)E，求證：CD與小圓相切．
證明：連結(jié)OE，過(guò)O作OF⊥CD，垂足為F．
∵AB與小圓O切于點(diǎn)點(diǎn)E，∴OE⊥AB．
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD與小圓O相切．
學(xué)生歸納：（1）證明切線的兩個(gè)常見(jiàn)方法（①連半徑證垂直；②作垂直證半徑．）；
（2）“連結(jié)”過(guò)切點(diǎn)的半徑，產(chǎn)生垂直的位置關(guān)系．
例3、已知：AB是半⊙O直徑，CD⊥AB于D，EC是切線，E為切點(diǎn)
求證：CE=CF
證明：連結(jié)OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例題讓學(xué)生自主分析、論證，教師指導(dǎo)書(shū)寫(xiě)規(guī)范，觀察學(xué)生推理的嚴(yán)密性和學(xué)生共同存在的問(wèn)題，及時(shí)解決．
鞏固練習(xí)：P111練習(xí)1、2．
（三）小結(jié)：
1、知識(shí)：（指導(dǎo)學(xué)生歸納）切線的判定方法和切線的性質(zhì)
2、能力：①靈活運(yùn)用切線的判定方法和切線的性質(zhì)證明問(wèn)題；②作輔助線的能力和技巧．
（四）作業(yè)：教材P115，1（1）、2、3．
探究活動(dòng)
問(wèn)題：（北京西城區(qū)，2002）已知：AB為⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，設(shè)切點(diǎn)為C．
(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖1所示時(shí)，連結(jié)AC，作∠APC的平分線，交AC于點(diǎn)D，請(qǐng)你測(cè)量出∠CDP的度數(shù)；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖2和圖3所示時(shí)，連結(jié)AC，請(qǐng)你分別在這兩個(gè)圖中用尺規(guī)作∠APC的平分線(不寫(xiě)做法，保留作固痕跡)，設(shè)此角平分線交AC于點(diǎn)D，然后在這兩個(gè)圖中分別測(cè)量出∠CDP的度數(shù)；
猜想：∠CDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的變化而變化?請(qǐng)對(duì)稱的猜想加以證明．
解：(1) 測(cè)量結(jié)果：
(2)圖2中的測(cè)量結(jié)果：
圖3中的測(cè)量結(jié)果：
猜想：
證明：
解：(1) 測(cè)量結(jié)果：∠CDP=45°．
(2)圖2中的測(cè)量結(jié)果：∠CDP=45°．
圖3中的測(cè)量結(jié)果：∠CDP=45°．
猜想：∠CDP=45°，不隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的變化而變化．
證明：連結(jié)OC．
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO．
∵OA=OC
∴∠A=∠3．
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1．
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．
∴猜想正確．
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