加強線性代數的教學 提高學生的數學能力

加強線性代數的教學 提高學生的數學能力

　　加強線性代數的教學 提高學生的數學能力
　　
　　基金項目：2010年湖南省普通高等學校教學改革研究資助項目（湘財教指［2010］74號）
　　
　　作者簡介：陳佘喜（1965-），男，湖南邵東人，教授，碩士生導師，主要從事應用數學的教學與研究。
　　
　　陳佘喜
　　
　　（湖南科技大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201）
　　
　　摘要：線性代數是理工科各專業一門重要的基礎課。本文結合線性代數課程的基本內容，從數學材料概念化的能力、用數學符號進行運算的能力、思維的邏輯性、思維的創造性、數學記憶能力與空間想象能力等方面闡述了數學能力的培養，并從教學環節方面探討了提高學生的數學能力的若干途徑。
　　
　　關鍵詞：線性代數；數學能力；培養途徑
　　
　　中圖分類號：O157，G420文獻標識碼：A文章編號：1674-5884（2013）04-0109-03
　　
　　線性代數是理工科各專業一門重要的基礎課，為學生學習后繼課程提供必要的有關矩陣、線性方程組、向量空間與線性變換等方面的基本概念與基礎理論，以及處理實際問題的基本方法［1-4］。眾所周知，數學能力是學生完成數學活動的可能性方面的個性心理特性，是順利完成數學活動的必要的心理條件［5, 6］。數學活動主要是通過思維與想象，形成和掌握數學的基本概念、基本理論以及常用的數學方法，進而應用數學知識解決相關的實際問題。數學能力是在數學活動中形成和發展起來的，并在數學活動中得到表現，但同時它又是學生進行數學活動的條件與保證，是由數學活動所要求的多種基本能力的有機組合，也就是學生的一般能力在數學活動中的具體化。本文將結合線性代數課程教學的基本內容，從數學材料概念化的能力、用數學符號進行運算的能力、思維的邏輯性、思維的創造性、數學記憶能力與空間想象能力等方面闡述數學能力的培養，并從教學環節方面探討了提高學生數學能力的若干途徑。
　　
　　一把握教學內容，培養數學能力
　　
　　（一）數學材料的概念化
　　
　　數學材料的概念化，就是通過分析給定的數學材料的數量關系與空間形式，抽象出本質的東西進行科學概括，也就是用數學概念來描述材料的本質特征。矩陣是線性代數課程中最基本的概念，從歷史上看，我國東漢初年《九章算術》中的“方程術”，其實質就是解線性方程組的高斯消元法。作為一個數學概念，矩陣（matrix）這個詞是在1850年由英國數學家、劍橋大學教授Sylvester首先提出來的。利用矩陣的概念，人們將在生產實踐中需要處理的一組相互獨立的數據，以表格的形式系在一起，視為一個整體，用一個量來表示，并參與運算，就使原來龐大而雜亂的數據，變得簡單而有序。特征值與特征向量是線性代數中的重要概念，其反映了線性變換的本質特征，因為在將一個線性空間變換到自身的過程中，特征向量就是保持“同向”或“反向”、“伸長”或“縮短”的那些向量，而“伸長”或“縮短”相同“倍數”的向量就是屬于同一“特征值”的特征向量。在德語與荷蘭語中，特征值（eigenvalue）與特征向量（eigenvector）中的“特征（eigen）”的意思就是“事物的某些本質屬性”。
　　
　　數學材料的概念化，表現在學生能夠按照新的觀點來對待和處理各個階段所積累起來的數學知識，并把以前好象是零散的和孤立的事實和概念組織和聯合起來，使之成為一個有機的整體。例如，矩陣的初等行變換是線性代數課程中一個重要的方法，最初的引入似乎僅僅是為了簡化表示用高斯消元法求解線性方程組的過程，而隨著課程的深入，初等行變換也可以用來求矩陣的秩、判斷向量組的線性相關性、求向量組的極大線性無關組、求矩陣的逆，甚至可以用來做矩陣的三角分解等等，這樣，通過矩陣的初等行變換，將線性代數課程中有關的重要概念、定理和方法連成了一個有機的整體。
　　
　　線性代數課程中的數學模型，是數學材料概念化的一種重要形式，它是在一定的假設條件下，將實際問題用數學語言表達出來的一種方式，能反映或近似反映該問題的數量關系。例如，在工廠考慮生產成本的問題中，若用mij表示生產第j種單位產品所花的第i類成本，則矩陣M=（mij）表示生產各種單位產品所花費的每類成本，若用P=（pij）表示第i種產品在第j個季度的產量，那么，乘積MP中第i行第j列的元素就表示在第j個季度所花的第i類成本的量，而且MP的列和為每個季度的總成本，行和為全年的各類成本。
　　
　　（二）用數學符號進行運算
　　
　　數學概念揭示了事物在變化的數量關系與空間形式上的本質特性，它們是通過構造相應的量化模式來明確定義的，并表達為一定的術語與特定的符號。n階行列式的概念，反映了n2個數之間的一種運算關系，這種關系就是先在行列式中每行每列各取一個數做乘積，再求所有這種可能的乘積項（共有n!項）的代數和，從函數的觀點來看，行列式就是一個n2元的函數。數學中的基本定理，揭示了數學概念之間的必然聯系，反映了數學符號之間的內在關系。行列式按行（列）的展開定理，反映了行列式與其一行（列）元素及相應的代數余子式的關系，而更為一般地，拉普拉斯定理表明了如何將高階行列式轉化為若干低階行列式的計算；方陣的伴隨矩陣的性質：AA*=A*A=AE，反映了方陣A、伴隨矩陣A*與行列式A之間的聯系，同時也展示了行列式的展開定理的本質，更進一步地，如果A≠0，上述性質還可以給出逆矩陣A－1的一個表達式。
　　
　　能否正確地運用數學符號進行運算，是學生數學能力高低的直觀表現。在矩陣階梯化過程中，如果不同矩陣之間用“=”連接，就說明了學生對于矩陣相等的概念是模糊的。對于多項式f（x）=a0+a1x+…+amxm與方陣A，若將f（A）表示為a0+a1A+…+amAm，則說明學生對形式多項式的概念還停留在數多項式的階段，并未理解矩陣多項式的概念，而能力較強的學生，則能立即發現上述表達式的錯誤，因為后者在一般情況下是沒法進行矩陣加法運算的。實際上，由矩陣冪的定義，A0=E，因此，f（A）=a0E+a1A+…+amAm。
　　
　　（三）思維的邏輯性
　　
　　邏輯思維就是按照邏輯規則而進行概念的運演來取代作用于現實事物的行動的思維。線性代數中內在的邏輯建構，決定了邏輯思維能力是學生數學能力不可或缺的成份，同時也為學生的邏輯思維訓練提供了極為有利的條件。
　　
　　邏輯思維的一個方面是分析思維，表現在對數學概念的定義、運用和對概念的分類，以及推理的形式和方法。例如，在證明矩陣乘積的秩不超過每個因子的秩時，由表達式AB=C可知，乘積矩陣C的每個行向量都可以經矩陣B的行向量組線性表出，因此，矩陣C的行向量組的極大線性無關組也可以由B的行向量組的極大線性無關組表出，于是rank（C）≤rank（B）；同時，因為BTAT=CT，故又有rank（C）=rank（CT）≤rank（AT）=rank（A）。
　　
　　邏輯思維另一重要的方面是辯證思維。它在數學概念中的體現，一是將形成的數學概念具體化，把反映事物單一屬性的數學概念與事物的多樣性統一起來，更全面地認識客觀現實；二是將數學概念分化與推廣，正確區分概念間的聯系與區別，把握數學的邏輯建構。例如，給定了n維線性空間的一組基，則其上所有的線性變換與所有的n階方陣之間存在一一對應的關系，由此，當線性空間的基發生變化時，線性變換的矩陣也會發生變化，這種變化規律就是方陣間的相似關系，并且由矩陣乘法的運算律可以斷言，線性變換的乘法滿足結合律，但一般不滿足交換律。
　　
　　（四）思維的創造性
　　
　　思維的創造性指思維活動的方式不僅善于求同，更善于求異。創造性思維是有目的、受支配的創造性想象，也是為解決問題的反復、有步驟和連貫的思考。創造性思維的結果，不單純是應用已知的概念和方法，還要創造新的形象、意義與方法，并利用它們來揭示問題新的特性和解決問題。創造性思維主要表現在以下三個方面：
　　
　　一是對已有的數學概念和方法進行最嚴格的評價，進而突破其局限性。例如，克拉姆法則是一個經典的關于線性方程組的求解公式，它明確給出了線性方程組的解與系數之間的關系，在線性方程組理論中有著非常重要的作用，然而，其局限性在于，一是只適合于方程組含n個未知量和n個方程，且系數行列式不為零的情形，二是當n≥4時，計算量比較大。因此，突破這種局限，尋求一種更為有效的線性方程組的解法，是勢在必行的，也就是熟知的高斯——若當消元法。
　　
　　二是能順利地從一種心理運算轉移到另一種心理運算，尋求解決問題的簡捷方法，象簡單結構的推理、一題多解等。例如，一個n元線性方程組可以寫成向量方程α1x1+α2x2+…+αnxn=β的形式，則該n元線性方程組的解的問題等價于向量β由向量組α1，α2，…，αn的線性表出的問題；特別地，齊次線性方程組是否有非零解等價于向量組α1，α2，…，αn是否線性相關。進一步地，矩陣關系式AB=O表明，只要A≠O，B的行向量組就是線性相關的，B的列向量也是齊次線性方程組AX=0的解向量，因此，B的列空間是AX=0的解空間的一個子空間。
　　
　　三是不使數學材料遷就于現成的概念，而是善于用材料來檢驗這些概念。在建立數學模型的過程中，這方面的能力就得到了比較充分表現。同樣的數學材料，運用不同的假設條件和相應的數學概念，可以建立不同的模型，應用不同的解題方法或技巧，又可以得到不同的結果，而對于這些結果的分析，與實際數據的吻合程度，就可以在一定程度上檢驗所運用的知識的合理性。
　　
　　（五）數學記憶能力
　　
　　數學記憶能力是對于數學的量化模式及邏輯建構的記憶力，記憶的主要形式是邏輯記憶與概念記憶。例如，關于向量組的線性相關性的一些判定定理和性質定理，學生在學習過程中經常出現對定理的條件與結論不熟悉、運用出錯，實際上，這些定理大部分是以“等價命題”的形式給出的，因此，從一個基本的結論出發，就可以推及其他；此外，基本定理的證明方法都是基于線性相關性的定義結合線性方程組的同解變形。
　　
　　應當注意的是，記憶能力與學生的注意力和定勢有關，注意力集中，才能排除來自外界的大量無關的“干擾”，包括其他學生的行為、教師的外貌、教室內外不斷發生的微小事件等等，才可能對教師的演示和語言等信息有較好的理解和加工，達到對知識的記憶。記憶能力也與知識的內容、表現形式、難度和可理解性等有關，因此，往往看到同一個學生對不同內容的記憶程度表現有較大的反差。
　　
　　（六）空間想象能力
　　
　　空間想象能力與數學所研究的對象所處的空間形式有關，要求能對空間的幾何體進行剖分，能借助空間圖形來反映量化的數學表達式的意義。例如，對于特征值與特征向量的定義式Aξ=λξ，在二階的實矩陣的情形時，A定義了一個從R2到自身的映射，在此映射下，二維向量ξ的像只是原像的λ倍，從幾何上看，像與原像平行。又如，在二維平面上的2個不共線的向量可以張成一個平行四邊形，而該平行四邊形的有向面積就是以這2個向量的坐標作為列向量的二階行列式的值；在三維空間中的3個不共面的向量可以張成一個平行六面體，而其有向體積就是以這3個向量的坐標為列向量的三階行列式的值。以此類推，在n維空間里給出了n個向量后，它們也能夠張成一個n維的平行多面體，它的有向體積就是由這n個向量的坐標為列向量所構成的n階行列式的值。
　　
　　二優化教學環節，提高數學能力
　　
　　數學能力與數學基礎知識、數學技能密切相關又相互區別。扎實的數學基礎知識與熟練的數學技能有助于數學能力的提高，反之亦然。因此，數學能力的培養與數學基礎知識和數學技能的培養是相輔相成，密不可分的。從教學環節來看，數學能力的培養途徑大致如下：
　　
　　（1）組織教學內容。一般說來，對于教學內容的組織有2種方式，一是綜合法，即教學材料的選擇應該有助于使學生了解教學目的和喚起掌握知識的欲望，在學習中不斷尋找和試探正確的解決問題的方法，分析所犯錯誤并改正錯誤；二是分析法，即從標準形式相似的基本內容開始練習，練習的內容應該有助于對結果的了解，在練習中通過不斷牢記正確的東西，將它們逐漸聯合成一個有機的整體。
　　
　　（2）選擇教學方法。基本的教學方法不外乎3種，一是對原則的教學，就是預先將一般的原理、公式、定理或算法的內涵傳授給學生；二是范例教學，就是使學生在理解和應用數學材料的進程中親自發現這些材料的本質關系；三是思維結構定向的教學，就是教學生學會一些解決問題的方法，再啟發他們尋找對象的一些特征，并借助于這些方法和特征來發現對象之間的必然關系，從而揭示出數學材料的本質關系。但無論選擇哪種教學方法，都要注意到先使學生掌握知識內容，再獨立運用知識，然后將所學的內容遷移到新的情境，即啟發學生積極思維。
　　
　　（3）加強實踐環節。比如數學實驗、數學建模、課外科技活動和傳統的課外作業等，都是重要的實踐教學。在數學的實踐教學中，要注意使學生能利用所學的理論知識來闡明一些客觀事物的本質和成功地解決某些理論或實踐課題。一般的做法是先闡明解答問題的原則，再指出對課題來說有關重要的資料和關系，即所謂的提示，使學生更加清楚地感知課題有關的未知關系，然后對課題的解答進行分析，使學生區分出解答課題時所需要的本質關系和材料。
　　
　　總之，在數學能力的培養過程中，既要將數學知識和數學技能緊密結合起來，也要注意到學生的個性心理特征，才能收到比較好的效果。尤為重要的是，我們不僅要使學生精通數學概念和數學方法，更要使學生了解發現這些概念和方法的局限性，看到客觀事物和關于客觀事物的觀念之間的區別，從而能夠走上用直接同事物和現象的相互作用所產生的視覺來洞察事物的道路，即具備創造性思維，這才是能力培養的根本目的所在。
　　
　　參考文獻：
　　
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　　［3］ 陳懷琛，高淑萍，楊威。工程線性代數［M］。北京：電子工業出版社，2007.
　　
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　　［5］ 曹才翰，章建躍。數學教育心理學［M］。北京：北京師范大學出版社，2001.
　　
　　［6］ M. 克萊因（北京大學數學史翻譯組譯）。 古今數學思想［M］。上海：上海科學技術出版社，1980.

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