從橢圓軌道到萬有引力定律

從橢圓軌道到萬有引力定律

1543年,哥白尼《天體運行論》的印刷出版，對天文學的研究起到了極大的促進作用，在牛頓之前，很多人對力學的發(fā)展作出了貢獻，代表性的成就是，開普勒奠定了經(jīng)典天文學的基礎。

開普勒——天體立法者

開普勒家境貧寒，一生艱辛，憑借勇于創(chuàng)新、執(zhí)著探索的可貴精神，發(fā)現(xiàn)了著名的行星運動三定律。

第一定律（軌道定律）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽位于橢圓的一個焦點上。

第二定律（面積定律）：每一行星的矢徑（行星中心到太陽中心的連線）在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

第三定律（周期定律）：行星繞太陽運動的周期Ｔ的二次方與該行星的橢圓半長軸r的三次方成正比。

開普勒發(fā)現(xiàn)這些定律，經(jīng)歷了艱苦的探索歷程，期間，1600年他成為＂星學之父＂第谷的助手，是一個轉(zhuǎn)折點．第谷有一雙明亮的眼睛，為了編制包括一千個天體的星表，二十年如一日持續(xù)觀測，積累了大量可靠資料，測量誤差不超過2ˊ。第谷1601年去世，這筆寶貴的科學財富就留給了開普勒。而他和第谷猶如天文學中一對互補的雙星，他從第谷的資料中發(fā)現(xiàn)了真理。如果以勻速圓周運動來研究和第谷的觀測結(jié)果比較，至少相差8ˊ以上，而第谷數(shù)據(jù)的誤差不允許大于2ˊ。頑強的探索使開普勒突破了勻速率運動和圓軌道兩個傳統(tǒng)觀念的束縛，于是誤差消除，第一、第二定律隨之誕生。想象和直覺第三次引導開普勒，使他感到還有秘密：雜散的數(shù)據(jù)中應該有統(tǒng)一，不協(xié)調(diào)中應該有和諧，后來終于發(fā)現(xiàn)：如果將地球的周期和軌道半長軸都設為1個單位，則所有行星的T²都等于r ^3（（見下表），這就是第三定律。

行星

偏心率e

r³（r_地=1）

T²（T_地=1）

水星

0.206

0.058

0.058

金星

0.007

0.378

0.378

地球

0.017

1.000

1.000

火星

0.093

3.540

3.537

木星

0.048

141.0

140.7

土星

0.055

878.1

867.7

開普勒的最后一次探索，是猜想行星運動定律只是某一個更普遍定律的表現(xiàn)，并著手從物理原因，即太陽的作用去尋找這個定律。開普勒沒有完成這次探索，但方向無疑是正確的。他不愧為天體力學的奠基人。

從運動現(xiàn)象研究力——萬有引力定律的建立

牛頓在《自然哲學的數(shù)學原理》的前言中說:“我奉獻這一作品，作為哲學的數(shù)學原理，因為哲學的全部責任似乎在于——從運動的現(xiàn)象去研究自然界中的力，然后從這些力去說明其他現(xiàn)象。”萬有引力定律的建立，體現(xiàn)了牛頓“從運動現(xiàn)象研究力，從力去說明其他現(xiàn)象”這一研究方法的完整過程。他在前人的基礎上，以嚴整的理論體系，建立了關(guān)于物體運動的三個定律和萬有引力定律。兩者，如同互相支撐的兩大基石，構(gòu)成了經(jīng)典力學和天文學。

當時已知的六大行星，其偏心率e除水星外都不大（見上表），可把行星軌道近似看作圓形，根據(jù)面積定律，行星應作勻速率圓周運動。

所以，其向心加速度：                                                          ①

對圓軌道，周期為：                                                            ②

周期定律：                 （K為與太陽有關(guān)的常量）                            ③

將②③代入①有： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                   ④

根據(jù)牛頓第二定律，即得行星受到的向心力：                                   ⑤

這說明，開普勒第三定律實際上向人們提示這樣的結(jié)論：一個行星所受到的向心力與其質(zhì)量成正比，與它到太陽的距離二次方成反比。當然也是建立在牛牛頓經(jīng)典力學的基礎上的。

牛頓認為這種力應該是“萬有”的，即普適的、統(tǒng)一的。因此地球?qū)υ铝痢�對地面重物也應遵循上述結(jié)論。于是月球繞地球沿圓軌道運行的向心加速度，按④式應是

其中 是地月距離， 是與地球有關(guān)的常量。類推地面物體，如果物體以足夠大的水平速度射出，它就能不落地面而繞地球作圓周運動， 就是它的向心加速度。設地球半徑為 ，則

從這兩式消去 ，在將 代入，就得      或   ，                     ⑥

其中 天是月球繞地球運動周期。早在公元前2世紀，古希臘天文學家已測得 ，據(jù)此推算，月球的向心加速度應是g值的 ，⑥式中 就是月球的向心加速度。只要測得地球半徑，就可以檢驗⑥式是否正確。現(xiàn)代的數(shù)據(jù) ， ， 顯然符合⑥式。牛頓獲得了地球半徑的準確數(shù)據(jù)之后，肯定了這一結(jié)果，證明了萬有引力的假設是正確的。

    萬有引力定律的表述

   自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比。即

式中 是萬有引力常數(shù) 。

    我們應當感謝開普勒、牛頓這些科學上的巨人。“俱懷逸興壯思飛，欲上青天攪日月”，正是他們和千千萬萬的科學研究工作者的精密實驗，艱苦思維，建造了現(xiàn)代的科學大廈，使后人擺脫了無知的迷信，帶來了文明和進步。

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