在數學教學中培養學生的創新思維能力
隨著科學技術的發展和人類社會的進步，知識經濟的時代已經來臨，知識經濟對創新能力提出了更高的要求。《高中數學課程標準》中明確提出“高中數學課程對于認識數學與自然界、數學與人類社會的關系，認識數學的科學價值、文化價值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發展智力和創新意識具有基礎性的作用”，“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的過程，發展他們的創新意識”。這就要求我們從課堂教學改革入手，探索進行創新教育的有效途徑。下面談談在數學教學活動中培養學生創新思維能力的一些做法和體會：
一、設計知識的再創造過程，讓學生體驗發現與創造
教材中的概念、公式、定理是學生學習的重要內容，對學生而言都是新的，但教師不必將各種規則、定律硬灌輸給學生，而是應該引導學生運用已有的經驗、知識、方法去探索和發現，從而獲得新知，這對學生而言是一個知識的再創造的過程。在講誘導公式sin(180°+ )=-sin 時，湖南省冷水市漣邵二中劉利民老師沒有根據教材順序進行講解，而是設計了如下步驟：（１）用三角函數定義求sin60°、sin240°（教師強調在同一坐標系中求，為證明作鋪墊）；（２）由學生談感想并進行猜想。大部分學生得出兩種想法： sin240°=-sin60°、sin(180°+ )=-sin （ 為銳角）。再經過思考，有學生進一步猜想：sin(180°+ )=-sin R；（３）引導學生驗證。教師設問提示：如何在同一坐標系中求sin 、sin(180°+ )呢？學生都在 終邊上取一點p(x , y)，設op=r，并順利找到180°+ 的終邊即 終邊的反向延長線。接著，有的學生在180°+ 的終邊上任取一點p′，借助相似三角形性質驗證；有的學生在180°+ 的終邊上任取一點p′，并使o p′=r，利用對稱性驗證。教師對學生的猜想和證明肯定后，要他們看教材進行比較，并展開討論，有的說：“單位圓是畫蛇添足”，有的說：“單位圓更簡單”。學生在對知識的探索和爭論中，獲得對發現和創造的體驗。
二、創設情境，增強學生的創新意識
1、誘發好奇心理，培養學生的探索精神
教學中充分激發和利用學生的好奇心有利于提高課堂教學效果，而這樣的過程又能使學生的好奇心理得到進一步強化。如用現代教學手段增強新奇感（運用多媒體演示太空星球運動、運用幾何畫板演示動點軌跡），運用生活中的現象增強趣味性（用打橋牌時對牌的分布的可能性引入概率、用幾只彈簧稱演示向量的合成與分解），運用數學史料激發求知欲（用數學史上的三次危機引入無理數、用國際象棋發明者與印度國王的故事引入等比數列）。
在學生的好奇心被充分調動后，利用學生的好奇心和求知欲，給學生提供探索和發現的機會，鼓勵學生透過現象看本質，激發追根求源的探索精神。如講正弦定理時，不按照先推導公式再研究其應用的傳統模式進行，而是先給幾個具體問題讓學生研究。例如，已知a=3，b=4，B=60°，求A；已知a=3，A=30°，B=120°，求b等等。學生分別用構造直角三角形的方法解決了這些問題后，自然產生這樣的感覺：能否建立一個模式來統一解決呢？這樣既激發了學生的探索熱情，又使正弦定理的引入變得水到渠成。再如，講點到直線的距離公式時，學生自然地想到過P(x0，y0)作直線L：Ax+By+C=0的垂線，先求垂足Q的坐標，再求︱PQ︱。我沒有因其較繁而打斷學生的思路，而是讓他們繼續操作并加以解決。學生解決后自己也感到挺繁的，意識到應該尋找更簡捷的解決方法，探索性思維又一次展開了。教師適時給予指導：若點P在y軸上是否可以來得簡單一點？受此啟發，學生經過一番研究，多種嶄新的方案出臺了。
2、培養化歸意識，鼓勵大膽猜想
歸納法是通過一些個別的、特殊的情況加以觀察、分析，從而得出一般結論的推理方法。以某些已知的事實和一定的經驗為依據，對數學問題作出推測性的判斷即猜想。化歸意識的培養，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養成自覺地聯想、自覺地調整思維方式的鉆研精神和思考習慣。數學上的許多創造都是以猜想為前提的，著名的哥德巴赫猜想“任何一個大于２的偶數都可以表示成兩個素數之和”就是一個典型的例子。在講組合數的性質時，我先讓學生計算考察下列組合數：C 與C ，C 與C ，C 與C ，從而歸納猜想出組合數性質C =C ，最后再對該性質加以證明。在講等差數列的概念時，讓學生填空（１）1，4，7， ，13， ；（２）3，0， ，-6， ， 。引導學生將觀察與思維有機結合，分析與猜測同步進行。在平時的教學過程中，教師有意識地提出問題而不忙于解答，先讓學生猜想問題的答案，再運用所學數學知識進行解決、證明是發展學生想象力和洞察力的有效途徑。
3、選擇適當的教學內容，指導學生進行研究性學習
教材中有些章節沒有新概念，具有基礎性和可遷移的特點，可以指導學生獨立研究學習：教師向學生提供探究的問題，讓學生自己探索得出結論。如在講正切函數的圖象和性質時，劉利民老師考慮到幾何法作函數圖象的局限性和描點分析函數性質作圖應用的廣泛性，因而微調教材內容（幾何法改為描點法）：要求學生用描點法并分析函數性質作出y=tanx的草圖。學生獨立思索，約用了２５分鐘，有的同學作出了錯誤的圖象；有的同學作圖正確但對單調性的判定憑直覺；有的同學推理有據，作圖正確，頗有見地。在研究過程中，函數性質不教自明，下面是學生中一種比較典型的探索、研究過程：（１）令x=0， ， ， ，2 ，求tanx并描點；（自我啟示：①發現五點法作圖行不通，應描更多的點；② x k + ; ③ 意識到函數具有周期性，并由誘導公式推得周期為 ）；（２）令x= ， ， ，求tanx并描點；（自我啟示：①意識到y=tanx為奇函數并由誘導公式得證；②意識到函數在(- ， )遞增）；（３）作出正確的草圖。
三、提高思維品質，培養學生的創新能力
1、一題多解，培養發散思維能力
對教材中例題、習題一題多解有利于調動學生思維的積極性和創造性。在解題教學中，不要片面追求學生的思路跟教材一致、跟教師一致，而要創設態度民主型、思維開放型的課堂。教材中例題一般只給出一種解法，但其中有不少題卻有多種解法，教師要在備課中盡量挖掘出來，在課堂上通過點拔、暗示體現出來，凡是學生有能力解決的，教師只作評價和總結。如在講例題：已知tan =- ，并且 是第三象限角，求 的其余三角函數值時，我要求學生自己尋找解題思路，學生先后找出四種思路：直接運用三角函數定義（幾何解法），分別運用同角三角函數基本關系式中的三個平方關系。而在講不等式證明題：已知0<a<1，0<b<1，求證 + + + 2 時，學生想到了分別用不等式、復數、解幾、平幾等有關知識進行證明。這樣既有利于學生系統掌握所學知識，又有利于培養學生思維的靈活性和廣闊性。
另外，數學學習中的一空多填、一式多變、一題多變、一題多問、多題一法；數學方法中的變量代換、幾何問題代數化與代數問題幾何化、幾何變換；數學解題中尋找簡便解法、反常規解法以及獨特解法的訓練等，都有助于發散思維能力的培養。
2、鼓勵質疑提問，培養思維的批判性
古人云“學貴有疑”，疑就是一種批判精神，思維的批判性是創造性思維的一個重要特征。學生的提問質疑不僅可以鍛煉其思維能力，而且在疑的基礎上讓學生探討問題的答案，還可以培養其學習的主動性。在講直線方程時，我曾經出過這樣一道題讓學生思考：河岸（直線l方程：x+y-3=0）的同側有A(-1、1)、B(2、-3)兩地 ，若B地失火，某人從A地出發到河中提水去B地救火，問此人應如何走法速度最快？本來目的是考查學生直線方程的有關知識，多數學生也正是如此，先求點A關于直線L的對稱點A′，再求A′B方程，確定A′B與直線L的交點 。正當我頗為得意之際，有一個同學突然站了起來：“老師，這道題不好做，因為提水救火時空桶、滿桶速度不一樣”。粗一想以為學生是故意搗亂，不禁火苗直竄；細一想這位學生的話很有道理，學生考慮問題比我全面，正是學生的大膽質疑提醒了我原題出得不夠嚴密。對這位學生不但不應該批評，而且應該表揚、鼓勵。
3、發展直覺思維，培養對美的感悟能力
直覺思維是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。直覺思維能力可以通過多方聯想，學會從整體考察問題，注意挖掘事物內部的本質聯系，借助對稱、和諧、簡單、統一、奇異、突變等數學美感，養成解題后進行反思的習慣等途徑加以培養。對數學美的追求和感悟，讓學生獨立地感受這些美及其思維功能，熏陶著創造的情思和意志，增強了創造美的能力。如教材中概率部分有一道題：邊長為n 的正方體由n3 個邊長為1的小正方體組成，問其中看不見的小正方體有多少個？看得見的小正方體有多少個？這道題可以有好幾種其它解法，但都較繁，而直覺思維能力強的同學卻可能會發現：從大正方體的頂面、前面、側面各剝去一層小正方體，剩下部分恰好就是看不見的小正方體。于是很快得出結論：看不見的小正方體有(n-1)3個，看得見的小正方體有n3-(n-1)3=3n2-3n+1個。而在講誘導公式時，我沒有直接講公式而是先讓學生猜想sin130°與sin50°、cos130°與cos50°的關系，然后再引導學生進行證明，后來一位原來沒有猜對正確答案的學生說：“本來我就應該知道的，130°與50°的角的終邊關于y軸對稱，它們之間應該有著特殊的關系……”。學生的話對我感觸很深，我們應該充分利用和發展學生對美的感悟能力啊！
學生創新思維能力的培養還可以通過引入數學開放題、指導學生撰寫數學小論文、教師在教學過程中多一份耐心和寬容、允許學生嘗試乃至失敗等多種途徑加以培養。當然，創新思維能力的培養非一朝一夕之功，但只要我們在自己的教學實踐中不斷研究教學方法，不斷探索教改之路，就一定能使學生的創新思維和創新能力不斷提高。
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