參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用

參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用

參數(shù)方程在解析幾何中是一個十分重要的內(nèi)容，而且是高中數(shù)學(xué)的一個難點。近幾年來高考對參數(shù)方程和極坐標(biāo)的要求稍有降低，但是，可用參數(shù)方程求解的問題和內(nèi)容有所增加且與三角函數(shù)聯(lián)系緊密。本文以具體的例子闡述參數(shù)方程的廣泛應(yīng)用。

　　一、探求幾何最值問題

　　有時在求多元函數(shù)的幾何最值有困難，我們不妨采用參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化為求三角函數(shù)的最值問題來處理。

　　例1（1984年考題）　在△ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為△ABC的內(nèi)切圓的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。

　　解　由，運用正弦定理，可得：

　　∵sinA·cosA=sinB·cosB

　　∴sin2A=sin2B

　　由A≠B，可得2A=π-2B。

　　∴A+B=，則△ABC為直角三角形。

　　又C=10,，可得：

　　a=6,b=8,r=2

　　如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的參數(shù)方程為

　　所以圓上動點P的坐標(biāo)為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα

　　因0≤α＜2π，所以

　　例2　過拋物線　（t為參數(shù)，p＞0）的焦點作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)0＜θ＜π，當(dāng)θ取什么值時，｜AB｜取最小值。


　　解　拋物線　（t為參數(shù)）

的普通方程為=2px，其焦點為。

　　設(shè)直線l的參數(shù)方程為：

　　　（θ為參數(shù)）

代入拋物線方程＝2px得：

　　又∵0＜θ＜π

　　∴當(dāng)θ=時，｜AB｜取最小值2p。

　　二、解析幾何中證明型問題

　　運用直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，能簡捷地解決有關(guān)與過定點的直線上的動點到定點的距離有關(guān)的問題。

　　例3　在雙曲線中，右準(zhǔn)線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點，過右焦點F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。

　　證明　設(shè)F點坐標(biāo)為(c,0)，

　　A點坐標(biāo)為(,0)。

又，設(shè)AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數(shù)方程依次為：

　 將①、②代入雙曲線方程，化簡得：

　同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：

　　｜FM｜·｜FN｜=



∴｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

雙曲線的一條準(zhǔn)線與實軸交于P點，過P點引一直線和雙曲線交于A、B兩點，又過一焦點F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

　　證明　由已知可得。設(shè)直線AB的傾角為α，則直線AB

的參數(shù)方程為

　　　（t為參數(shù)）

代入，可得：

據(jù)題設(shè)得直線CD方程為　（t為參數(shù)）

代入，得：，從而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

　　三、探求解析幾何定值型問題

　　在解析幾何中點的坐標(biāo)為(x,y)，有二個變元，若用參數(shù)方程則只有一個變元，則對于有定值和最值時，參數(shù)法顯然比較簡單。

　　例5　從橢圓上任一點向短軸的兩端點分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。

　　解　化方程為參數(shù)方程：

　　　（θ為參數(shù)）

　　設(shè)P為橢圓上任一點，則P(3cosθ,2sinθ)。

　　于是，直線BP的方程為：

　　直線的方程為：

　　令y=0代入BP,的方程，分別得它們在x軸上的截距為和。

　　故截距之積為：（）·（）=9。

　　四、探求參數(shù)的互相制約條件型問題

　　例6　如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點，試求m、n滿足

的條件。

　　分析　如果本題采用常規(guī)的代入消元法，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解，極易導(dǎo)致錯誤，而且很難發(fā)現(xiàn)其錯誤產(chǎn)生的原因。若運用參數(shù)方程來解，則可“輕車熟路”，直達(dá)解題終點。

　　解　設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

　　拋物線的參數(shù)方程為

　　　（t為參數(shù)）

　　因它們相交，從而有：

　　由②得：

　　代入①得：

　　配方得：。即
　　
　　∵1≤≤9　∴-2≤n-m≤2

　　所以｜m-n｜≤2為兩曲線有公共點的條件。

注：特別地，當(dāng)n=3/2時，即為廣東省1985年高考理科第34題。

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