概括是數學思維的核心

概括是數學思維的核心

概括，就是把個別的和特殊的事例總結、推廣成普遍的和一般的結論。數學的特點決定了概括在數學思維中的核心地位。培養小學生的概括能力是培養和發展小學生數學思維能力的一個重點。

在教學中培養學生的概括能力，教師首先應提供足夠直觀的背景材料。“直觀”包括學生熟知的知識、經驗、手段、工具、策略等，這是材料的“質”；“足夠”的材料，是準確而完整地概括所必需的最少例證，這是材料的“量”。

有了背景材料的質、量保證，就為學生科學地概括提供了充分條件。

其次，要恰當變換問題的具體情境。面對一種思維情境，沒有顯而易見的解決方法，這樣的情境就是問題，問題解決就是從已知狀態到目標狀態的運動過程。

小學生概括的膚淺性，往往表現為從問題次要的、表面的形式上去觀察和比較，而對問題主要的、本質的東西視而不見。針對這種現象，教學的，教師應當先顯示標準的常式，再出示非標準的變式，即先揭示概念的內涵后揭示概念的外延。

提供的變式材料，一定要注意改變事物的非本質屬性和非特定情形，不要改變事物的本質屬性，這樣能使學生的概括集中指向事物的本質要素，不致于干擾和阻礙概括的過程。

第三，發揮解題模式的誘發功能。目前，小學數學界對題型分類和解題模式一直爭論不休。現行統編教材編排更是十分忌諱模式或類型。然而無論怎么改變，模式卻是客觀存在的。事實上，一個公式、一條定律、一道范例，都自然成了學生思維的模式。就連最簡單的20以內的進位加法中的“湊十法”也是地道的模式。

模式就是可供模仿的原型。在思考問題的，任何人總要把新問題歸結成記憶力已知的認知圖式或解題模式。因此，在解數學問題時，在學生進行數學概括時，教師應適時引導學生聯想相關的解題模式及其要素、在模式的指導下進行有的放矢的思維，這樣可以縮短概括的過程，提高概括水平。

第四，教會學生概括的主要方法。簡單地講有以下4種：

1．從觀察和比較中概括。

要讓學生養成耐心、全面地觀察，精細、認真地比較的良好習慣，特別是要能從相同中發現不同點，或從相異處找出相同點。讓學生經常自問：有哪些相同的地方？不同處在哪里？

2．從類比和歸納中概括。

類比是從特殊到特殊的推理，歸納是從特殊到一般的推理，這兩種推理的結論，都必須進行概括。類比實質上是從提供的原型中找到模式，再利用模式獲得新的概括，如把比例尺的關系式同百分數應用題的數量關系式類比，可以發現它們的相同點：比例尺相當于百分率，圖上距離相當于標準量，實際距離相當于比較量，這樣可合二為一獲得新的概括－－比例尺應用題實質上可歸結為百分數應用題的解題思路。并且這樣解題更加簡捷明快。歸納是建構模式中不可能少的環節，演繹則是對模式的具體應用，由于教材封閉性的特點，大多數內容只能以演繹體系呈現，實質上就減少了概括的過程，通過歸納，不僅可以復原結論的形成過程，而目可以在歸納中學會概括一類事物的本質屬性，提高概括能力，扇形面積公式就是通過舊納而概括成的。

3．從直觀和抽象中概括。

直觀的板書、演示、操作等，為小學生的概括減少了難度，定律、法則等內容較多的結論，可借助板書幫助概括。在抽象中概括，主要指聯合各獨立的數學條文，形成包攝程度更高更為一般的概括、如從分數乘以整數、一個數乘以分數以及帶分數乘法中概括出分數乘法的統一法則就屬這一情形。

4．從小結和評價中概括。

解題后的小結與評價都需用概括化的語言表達；每堂課的小結和評價也同樣需用語言加以概括，概括語言的精練、準確，反映著概括水平達到了一定程度。

值得指出的是，概括必須憑借數學語言加以外化，數學語言充當著概括的物質載體，因此，培養學生的概括能力，一定要伴隨準確、嚴密的語言表達，使概括能力和語言表達能力協同發展。

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