高中數學教案【合集】
作為一位杰出的老師，時常會需要準備好教案，教案是備課向課堂教學轉化的關節點。如何把教案做到重點突出呢？以下是小編為大家整理的高中數學教案，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
高中數學教案1
教學目標
知識與技能目標：
本節的中心任務是研究導數的幾何意義及其應用，概念的形成分為三個層次：
(1)通過復習舊知“求導數的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關系”，解決了平均變化率的幾何意義后，明確探究導數的幾何意義可以依據導數概念的形成尋求解決問題的途徑。
(2)從圓中割線和切線的變化聯系，推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。
(3)依據割線與切線的變化聯系，數形結合探究函數導數的幾何意義教案在導數的幾何意義教案處的導數導數的幾何意義教案的幾何意義，使學生認識到導數導數的幾何意義教案就是函數導數的幾何意義教案的圖象在導數的幾何意義教案處的切線的斜率。即：
導數的幾何意義教案=曲線在導數的幾何意義教案處切線的斜率k
在此基礎上，通過例題和練習使學生學會利用導數的幾何意義解釋實際生活問題，加深對導數內涵的理解。在學習過程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的數學思想方法。
過程與方法目標：
(1)學生通過觀察感知、動手探究，培養學生的動手和感知發現的能力。
(2)學生通過對圓的切線和割線聯系的認識，再類比探索一般曲線的情況，完善對切線的認知，感受逼近的思想，體會相切是種局部性質的本質，有助于數學思維能力的提高。
(3)結合分層的探究問題和分層練習，期望各種層次的學生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面，獨立解決問題和發現新知、應用新知。
情感、態度、價值觀：
(1)通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想，使學生了解近似與精確間的辨證關系;通過有限來認識無限，體驗數學中轉化思想的意義和價值;
(2)在教學中向他們提供充分的從事數學活動的機會，如：探究活動，讓學生自主探究新知，例題則采用練在講之前，講在關鍵處。在活動中激發學生的學習潛能，促進他們真正理解和掌握基本的數學知識技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗，提高綜合能力，學會學習，進一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態度方面得到良好的發展。
教學重點與難點
重點：理解和掌握切線的新定義、導數的幾何意義及應用于解決實際問題，體會數形結合、以直代曲的思想方法。
難點：發現、理解及應用導數的幾何意義。
教學過程
一、復習提問
1.導數的定義是什么?求導數的三個步驟是什么?求函數y=x2在x=2處的導數.
定義：函數在導數的幾何意義教案處的導數導數的幾何意義教案就是函數在該點處的瞬時變化率。
求導數的步驟：
第一步：求平均變化率導數的幾何意義教案;
第二步：求瞬時變化率導數的幾何意義教案.
(即導數的幾何意義教案，平均變化率趨近于的確定常數就是該點導數)
2.觀察函數導數的幾何意義教案的圖象，平均變化率導數的幾何意義教案在圖形中表示什么?
生：平均變化率表示的是割線PQ的斜率.導數的幾何意義教案
師：這就是平均變化率(導數的幾何意義教案)的幾何意義，
3.瞬時變化率(導數的幾何意義教案)在圖中又表示什么呢?
如圖2-1，設曲線C是函數y=f(x)的圖象，點P(x0，y0)是曲線C上一點.點Q(x0+Δx，y0+Δy)是曲線C上與點P鄰近的任一點，作割線PQ，當點Q沿著曲線C無限地趨近于點P，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線.
導數的幾何意義教案
追問：怎樣確定曲線C在點P的切線呢?因為P是給定的，根據平面解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了.設割線PQ的傾斜角為導數的幾何意義教案，切線PT的傾斜角為導數的幾何意義教案，易知割線PQ的斜率為導數的幾何意義教案。既然割線PQ的極限位置上的直線PT是切線，所以割線PQ斜率的極限就是切線PT的斜率導數的幾何意義教案，即導數的幾何意義教案。
由導數的定義知導數的.幾何意義教案導數的幾何意義教案。
導數的幾何意義教案
由上式可知：曲線f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率就是y=f(x)在點x0處的導數f'(x0).今天我們就來探究導數的幾何意義。
C類學生回答第1題，A，B類學生回答第2題在學生回答基礎上教師重點講評第3題，然后逐步引入導數的幾何意義.
二、新課
1、導數的幾何意義：
函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率.
即：導數的幾何意義教案
口答練習：
(1)如果函數y=f(x)在已知點x0處的導數分別為下列情況f'(x0)=1，f'(x0)=1，f'(x0)=-1，f'(x0)=2.試求函數圖像在對應點的切線的傾斜角，并說明切線各有什么特征。
(C層學生做)
(2)已知函數y=f(x)的圖象(如圖2-2)，分別為以下三種情況的直線，通過觀察確定函數在各點的導數.(A、B層學生做)
導數的幾何意義教案
2、如何用導數研究函數的增減?
小結：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數在該點處的瞬時變化率，也就是導數。導數的正負即對應函數的增減。作出該點處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負即導數的正負，就可以判斷函數的增減性，體會導數是研究函數增減、變化快慢的有效工具。
同時，結合以直代曲的思想，在某點附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣，也可以判斷函數的增減性。都反應了導數是研究函數增減、變化快慢的有效工具。
例1函數導數的幾何意義教案上有一點導數的幾何意義教案，求該點處的導數導數的幾何意義教案，并由此解釋函數的增減情況。
導數的幾何意義教案
函數在定義域上任意點處的瞬時變化率都是3，函數在定義域內單調遞增。(此時任意點處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)
3、利用導數求曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程.
例2求曲線y=x2在點M(2，4)處的切線方程.
解：導數的幾何意義教案
∴y'|x=2=2×2=4.
∴點M(2，4)處的切線方程為y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.
由上例可歸納出求切線方程的兩個步驟：
(1)先求出函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0).
(2)根據直線方程的點斜式，得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).
提問：若在點(x0，f(x0))處切線PT的傾斜角為導數的幾何意義教案導數的幾何意義教案，求切線方程。(因為這時切線平行于y軸，而導數不存在，不能用上面方法求切線方程。根據切線定義可直接得切線方程導數的幾何意義教案)
(先由C類學生來回答，再由A，B補充.)
例3已知曲線導數的幾何意義教案上一點導數的幾何意義教案，求：(1)過P點的切線的斜率;
(2)過P點的切線的方程。
解：(1)導數的幾何意義教案，
導數的幾何意義教案
y'|x=2=22=4. ∴在點P處的切線的斜率等于4.
(2)在點P處的切線方程為導數的幾何意義教案即12x-3y-16=0.
練習：求拋物線y=x2+2在點M(2，6)處的切線方程.
(答案：y'=2x，y'|x=2=4切線方程為4x-y-2=0).
B類學生做題，A類學生糾錯。
三、小結
1.導數的幾何意義.(C組學生回答)
2.利用導數求曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程的步驟.
(B組學生回答)
四、布置作業
1.求拋物線導數的幾何意義教案在點(1,1)處的切線方程。
2.求拋物線y=4x-x2在點A(4，0)和點B(2，4)處的切線的斜率，切線的方程.
3.求曲線y=2x-x3在點(-1，-1)處的切線的傾斜角
4.已知拋物線y=x2-4及直線y=x+2，求：(1)直線與拋物線交點的坐標; (2)拋物線在交點處的切線方程;
(C組學生完成1,2題;B組學生完成1,2,3題;A組學生完成2,3，4題)
教學反思：
本節內容是在學習了“變化率問題、導數的概念”等知識的基礎上，研究導數的幾何意義,由于新教材未設計極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學生通過動手作圖,自我感受整個逼近的過程，讓學生更加深刻地體會導數的幾何意義及“以直代曲”的思想。
本節課主要圍繞著“利用函數圖象直觀理解導數的幾何意義”和“利用導數的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開。先回憶導數的實際意義、數值意義，由數到形，自然引出從圖形的角度研究導數的幾何意義;然后，類比“平均變化率——瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數形結合的角度思考，獲得導數的幾何意義——“導數是曲線上某點處切線的斜率”。
完成本節課第一階段的內容學習后，教師點明，利用導數的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達到“以簡單的對象刻畫復雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數與切線斜率的關系，并感受導數應用的廣泛性。本節課注重以學生為主體,每一個知識、每一個發現，總設法由學生自己得出，課堂上給予學生充足的思考時間和空間，讓學生在動手操作、動筆演算等活動后，再組織討論，本教師只是在關鍵處加以引導。從學生的作業看來，效果較好。
高中數學教案2
一. 學習目標
(1)通過實例體會分布的意義與作用; (2)在表示樣本數據的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖，頻率折線圖; (3)通過實例體會頻率分布直方圖，頻率折線圖，莖葉圖的各自特點，從而恰當的選擇上述方法分析樣本的分布，準確的作出總體估計。
二. 學習重點
三.學習難點
能通過樣本的頻率分布估計總體的分布。
四.學習過程
(一)復習引入
(1 )統計的核心問題是什么?
(2 )隨機抽樣的幾種常用方法有哪些?
(3)通過抽樣方法收集數據的目的是什么?
(二)自學提綱
1.我們學習了哪些統計圖?不同的統計圖適合描述什么樣的數據?
2.如何列頻率分布表?
3.如何畫頻率分布直方圖?基本步驟是什么?
4.頻率分布直方圖的縱坐標是什么?
5.頻率分布直方圖中小長方形的面積表示什么?
6.頻率分布直方圖中小長方形的面積之和是多少?
(三)課前自測
1.從一堆蘋果中任取了20只，并得到了它們的質量(單位：g)數據分布表如下：
分組 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 頻數 1 2 3 10 1 則這堆蘋果中，質量不小于120g的蘋果數約占蘋果總數的xxx%. 2.關于頻率分布直方圖，下列說法正確的是( ) a.直方圖的`高表示該組上的個體在樣本中出現的頻率 b.直方圖的高表示取某數的頻率 c.直方圖的高表示該組上的樣本中出現的頻率與組距的比值 d.直方圖的高表示該組上的個體在樣本中出現的頻數與組距的比值 3.已知樣本：10，8，6，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，11，12，那么頻率為0.2的范圍是( ) a、5.5-7.5 b、7.5-9.5 c、9.5-11.5 d、11.5-13.5 (四)探究教學 典例：城市缺水問題(自學教材65頁~68頁)
問題1.你認為為了較為合理地確定出這個標準，需要做哪些工作? 2.如何分析數據?根據這些數據你能得出用水量其他信息嗎? 知識整理： 1.頻率分布的概念： 頻率分布： 頻數: 頻率：
2.畫頻率分布直方圖的步驟： (1).求極差: (2).決定組距與組數 組距: 組數: (3).將數據分組 (4).列頻率分布表 (5).畫頻率分布直方圖 問題： .
1.月平均用水量在2.5—3之間的頻率是多少?
2.月均用水量最多的在哪個區間?
3.月均用水量小于4.5 的頻率是多少?
4.小長方形的面積=?
5.小長方形的面積總和=?
6.如果希望85%以上居民不超出標準,如何制定標準?
7.直方圖有那些優點和缺點?
例題講解： 例1有一個容量為50的樣本數據的分組的頻數如下： [12.5, 15.5) 3 [15.5, 18.5) 8 [18.5, 21.5) 9 [21.5, 24.5) 11 [24.5, 27.5) 10 [27.5, 30.5) 5 [30.5, 33.5) 4 (1)列出樣本的頻率分布表; (2)畫出頻率分布直方圖; (3)根據頻率分布直方圖估計,數據落在[15.5, 24.5)的百分比是多少? (4)數據小于21.5的百分比是多少?
3.頻率分布折線圖、總體密度曲線 問題1：如何得到頻率分布折線圖 ? 頻率分布折線圖的概念：
問題2：在城市缺水問題中將樣本容量為100，增至1000，其頻率分布直方圖的情況會有什么變化?假如增至10000呢?
總體密度曲線的概念：
注：用樣本分布直方圖去估計相應的總體分布時，一般樣本容量越大，頻率分布直方圖就會無限接近總體密度曲線，就越精確地反映了總體的分布規律，即越精確地反映了總體在各個范圍內1.總體分布指的是總體取值的頻率分布規律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布。
4. 莖葉圖 莖葉圖的概念： 莖葉圖的特征：
小結：.總體的分布分兩種情況：當總體中的個體取值很少時，用莖葉圖估計總體的分布;當總體中的個體取值較多時，將樣本數據恰當分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖。
課堂小結：
當堂檢測：
1. 一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人， 并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖(如下圖)。 為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系， 要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步 調查，則 [2500,3000)(元)月收入段應抽取 人。
2、為了解某校高三學生的視力情況，隨機抽查了該校200名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖(如圖)， 由于不慎將部分數據丟失，但知道前四組的頻數成等比數 列，后6組的頻數成等差數列，設最多一組學生數為a，視 力在4.6到5.0之間的頻率為b，則
a+b= . 3.在抽查產品的尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b)是其中的一組，抽查出的個體在該組上的頻率為m，該組上的直方圖的高為h，則ba?=xx. 4.為了了解中學生的身高情況，對育才中學同齡的50名男學生的身高進行了測量，結果如下：(單位：cm)： 175 168 180 176 167 181 162 173 171 177 171 171 174 173 174 175 177 166 163 160 166 166 163 169 174 165 175 165 170 158 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167 170 172 165 157 172 173 166 177 169 181
(1)列出樣本的頻率分布表。
(2)畫出頻率分布直方圖。
(3)畫頻率分布折線圖;
高中數學教案3
[學習目標]
（1）會用坐標法及距離公式證明Cα+β；
（2）會用替代法、誘導公式、同角三角函數關系式，由Cα+β推導Cα—β、Sα±β、Tα±β，切實理解上述公式間的關系與相互轉化；
（3）掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用簡單的三角變換，解決求值、化簡三角式、證明三角恒等式等問題。
[學習重點]
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
[學習難點]
余弦和角公式的推導
[知識結構]
1、兩角和的余弦公式是三角函數一章和、差、倍公式系列的基礎。其公式的證明是用坐標法，利用三角函數定義及平面內兩點間的距離公式，把兩角和α+β的余弦，化為單角α、β的`三角函數（證明過程見課本）
2、通過下面各組數的值的比較：①cos（30°—90°）與cos30°—cos90°②sin（30°+60°）和sin30°+sin60°。我們應該得出如下結論：一般情況下，cos（α±β）≠cosα±cosβ，sin（α±β）≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin（0+α）=sin0+sinα=sinα。
3、當α、β中有一個是的整數倍時，應首選誘導公式進行變形。注意兩角和與差的三角函數是誘導公式等的基礎，而誘導公式是兩角和與差的三角函數的特例。
4、關于公式的正用、逆用及變用
高中數學教案4
教學準備
教學目標
熟悉兩角和與差的正、余公式的`推導過程，提高邏輯推理能力。
掌握兩角和與差的正、余弦公式，能用公式解決相關問題。
教學重難點
熟練兩角和與差的正、余弦公式的正用、逆用和變用技巧。
教學過程
復習
兩角差的余弦公式
用- B代替B看看有什么結果?
高中數學教案5
一、教學目標
(1)了解含有“或”、“且”、“非”復合命題的概念及其構成形式；
(2)理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義；
(3)能用邏輯聯結詞和簡單命題構成不同形式的復合命題；
(4)能識別復合命題中所用的邏輯聯結詞及其聯結的簡單命題；
(5)會用真值表判斷相應的復合命題的真假；
(6)在知識學習的基礎上，培養學生簡單推理的技能。
二、教學重點難點：
重點是判斷復合命題真假的方法；難點是對“或”的含義的理解。
三、教學過程
1.新課導入
在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯。具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面。數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的教學比初中更強調邏輯性。如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤。其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識。
初一平面幾何中曾學過命題，請同學們舉一個命題的例子。(板書：命題。)
(從初中接觸過的“命題”入手，提出問題，進而學習邏輯的有關知識。)
(同學議論結果，答案是肯定的)
教師提問：什么是命題？
(學生進行回憶、思考。)
概念總結：對一件事情作出了判斷的語句叫做命題。
(教師肯定了同學的回答，并作板書。)
由于判斷有正確與錯誤之分，所以命題有真假之分，命題(1)、(2)是真命題，而(3)是假命題。
(教師利用投影片，和學生討論以下問題。)
例1 判斷以下各語句是不是命題，若是，判斷其真假：
命題一定要對一件事情作出判斷，(3)、(4)沒有對一件事情作出判斷，所以它們不是命題。
初中所學的命題概念涉及邏輯知識，我們今天開始要在初中學習的基礎上，介紹簡易邏輯的知識。
2.講授新課
大家看課本(人教版，試驗修訂本，第一冊(上))從第25頁至26頁例1前，并歸納一下這段內容主要講了哪些問題？
(片刻后請同學舉手回答，一共講了四個問題。師生一道歸納如下。)
(1)什么叫做命題？
可以判斷真假的語句叫做命題。
判斷一個語句是不是命題，關鍵看這語句有沒有對一件事情作出了判斷，疑問句、祈使句都不是命題。有些語句中含有變量，如 中含有變量 ，在不給定變量的值之前，我們無法確定這語句的真假(這種含有變量的語句叫做“開語句”).
(2)介紹邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”。
“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞。邏輯聯結詞除這三種形式外，還有“若…則…”和“當且僅當”兩種形式。
對“或”的理解，可聯想到集合中“并集”的概念。 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一個是成立的，即 且 ;也可以 且 ;也可以 且 .這與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能。
對“且”的理解，可聯想到集合中“交集”的`概念。 中的“且”，是指“ ”、“ 這兩個條件都要滿足的意思。
對“非”的理解，可聯想到集合中的“補集”概念，若命題 對應于集合 ，則命題非 就對應著集合 在全集 中的補集 .
命題可分為簡單命題和復合命題。
不含邏輯聯結詞的命題叫做簡單命題。簡單命題是不含其他命題作為其組成部分(在結構上不能再分解成其他命題)的命題。
由簡單命題和邏輯聯結詞構成的命題叫做復合命題，如“6是自然數且是偶數”就是由簡單命題“6是自然數”和“6是偶數”由邏輯聯結詞“且”構成的復合命題。
(4)命題的表示：用 ， ， ， ，……來表示。
(教師根據學生回答的情況作補充和強調，特別是對復合命題的概念作出分析和展開。)
我們接觸的復合命題一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若 則 ”等形式。
給出一個含有“或”、“且”、“非”的復合命題，應能說出構成它的簡單命題和弄清它所用的邏輯聯結詞；應能根據所給出的兩個簡單命題，寫出含有邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的復合命題。
對于給出“若 則 ”形式的復合命題，應能找到條件 和結論 .
在判斷一個命題是簡單命題還是復合命題時，不能只從字面上來看有沒有“或”、“且”、“非”。例如命題“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”，此命題字面上無“且”;命題“5的倍數的末位數字不是0就是5”的字面上無“或”，但它們都是復合命題。
3.鞏固新課
例2 判斷下列命題，哪些是簡單命題，哪些是復合命題。如果是復合命題，指出它的構成形式以及構成它的簡單命題。
(1) ;
(2)0.5非整數；
(3)內錯角相等，兩直線平行；
(4)菱形的對角線互相垂直且平分；
(5)平行線不相交；
(6)若 ，則 .
(讓學生有充分的時間進行辨析。教材中對“若…則…”不作要求，教師可以根據學生的情況作些補充。)
例3 寫出下表中各給定語的否定語(用課件打出來).
若給定語為
等于
大于
是
都是
至多有一個
至少有一個
至多有個
其否定語分別為
分析：“等于”的否定語是“不等于”;
“大于”的否定語是“小于或者等于”;
“是”的否定語是“不是”;
“都是”的否定語是“不都是”;
“至多有一個”的否定語是“至少有兩個”;
“至少有一個”的否定語是“一個都沒有”;
“至多有 個”的否定語是“至少有 個”。
(如果時間寬裕，可讓學生討論后得出結論。)
置疑：“或”、“且”的否定是什么？(視學生的情況、課堂時間作適當的辨析與展開。)
4.課堂練習：第26頁練習1
5.課外作業：第29頁習題1.6
高中數學教案6
教學目標
（1）了解用坐標法研究幾何問題的方法，了解解析幾何的基本問題。
（2）理解曲線的方程、方程的曲線的概念，能根據曲線的已知條件求出曲線的方程，了解兩條曲線交點的概念。
（3）通過曲線方程概念的教學，培養學生數與形相互聯系、對立統一的辯證唯物主義觀點。
（4）通過求曲線方程的教學，培養學生的轉化能力和全面分析問題的能力，幫助學生理解解析幾何的思想方法。
（5）進一步理解數形結合的思想方法。
教學建議
教材分析
（1）知識結構
曲線與方程是在初中軌跡概念和本章直線方程概念之后的解析幾何的基本概念，在充分討論曲線方程概念后，介紹了坐標法和解析幾何的思想，以及解析幾何的.基本問題，即由曲線的已知條件，求曲線方程；通過方程，研究曲線的性質。曲線方程的概念和求曲線方程的問題又有內在的邏輯順序。前者回答什么是曲線方程，后者解決如何求出曲線方程。至于用曲線方程研究曲線性質則更在其后，本節不予研究。因此，本節涉及曲線方程概念和求曲線方程兩大基本問題。
（2）重點、難點分析
①本節內容教學的重點是使學生理解曲線方程概念和掌握求曲線方程方法，以及領悟坐標法和解析幾何的思想。
②本節的難點是曲線方程的概念和求曲線方程的方法。
教法建議
（1）曲線方程的概念是解析幾何的核心概念，也是基礎概念，教學中應從直線方程概念和軌跡概念入手，通過簡單的實例引出曲線的點集與方程的解集之間的對應關系，說明曲線與方程的對應關系。曲線與方程對應關系的基礎是點與坐標的對應關系。注意強調曲線方程的完備性和純粹性。
（2）可以結合已經學過的直線方程的知識幫助學生領會坐標法和解析幾何的思想，學習解析幾何的意義和要解決的問題，為學習求曲線的方程做好邏輯上的和心理上的準備。
（3）無論是判斷、證明，還是求解曲線的方程，都要緊扣曲線方程的概念，即始終以是否滿足概念中的兩條為準則。
（4）從集合與對應的觀點可以看得更清楚：
設 表示曲線 上適合某種條件的點 的集合；
表示二元方程的解對應的點的坐標的集合。
可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線”，即
（5）在學習求曲線方程的方法時，應從具體實例出發，引導學生從曲線的幾何條件，一步步地、自然而然地過渡到代數方程（曲線的方程），這個過渡是一個從幾何向代數不斷轉化的過程，在這個過程中提醒學生注意轉化是否為等價的，這將決定第五步如何做。同時教師不要生硬地給出或總結出求解步驟，應在充分分析實例的基礎上讓學生自然地獲得。教學中對課本例2的解法分析很重要。
這五個步驟的實質是將產生曲線的幾何條件逐步轉化為代數方程，即
文字語言中的幾何條件 數學符號語言中的等式 數學符號語言中含動點坐標 ， 的代數方程 簡化了的 ， 的代數方程
由此可見，曲線方程就是產生曲線的幾何條件的一種表現形式，這個形式的特點是“含動點坐標的代數方程。”
（6）求曲線方程的問題是解析幾何中一個基本的問題和長期的任務，不是一下子就徹底解決的，求解的方法是在不斷的學習中掌握的，教學中要把握好“度”。
高中數學教案7
1. 你能遵守學校的規章制度，按時上學，按時完成作業，書寫比較端正，課堂上你也坐得比較端正。如果在學習上能夠更加主動一些，尋找適合自己的學習
2. 你尊敬老師、團結同學、熱愛勞動、關心集體，所以大家都喜歡你。能嚴格遵守學校的各項規章制度。學習不夠刻苦，有畏難情緒。學習方法有待改進，掌握知識不夠牢固，思維能力要進一步培養和提高。學習成績比上學期有一定的進步。平時能積極參加體育鍛煉和有益的文娛活動。今后如果能注意分配好學習時間，各科全面發展，均衡提高，相信一定會成為一名更加出色的學生。
3. 你性格活潑開朗，總是帶著甜甜的笑容，你能與同學友愛相處，待人有禮，能虛心接受老師的教導。大多數的'時候你都能遵守紀律，偶爾會犯一些小錯誤。有時上課不夠留心，還有些小動作，你能想辦法控制自己嗎?一開學老師就發現你的作業干凈又整齊，你的字清秀又漂亮。但學習成績不容樂觀，需努力提高學習成績。希望能從根本上認識到自己的不足，在課堂上能認真聽講，開動腦筋，遇到問題敢于請教。
4. 你熱情大方，為人豪爽，身上透露出女生少有的霸氣，作為班干部，你會提醒同學們及時安靜，對學習態度端正，及時完成作業，但是少了點耐心，試著把心沉下來，上課集中注意力，跟著老師的思路走，一步一個腳印，一定能走出你自己絢麗的人生!
5. 學習態度端正，效率高，合理分配時間，學習生活兩不誤，善良熱情，熱愛生活，樂于助人，與周圍同學相處關系融洽。能嚴格遵守學校的各項規章制度。上課能專心聽講，認真做好筆記，課后能按時完成作業。記憶力好，自學能力較強。希望你能更主動地學習，多思，多問，多練，大膽向老師和同學請教，注意采用科學的學習方法，提高學習效率，一定能取得滿意的成績!
6. 作為本班的班長，你對待班級工作能夠認真負責，積極配合老師和班委工作，集體榮譽感很強，人際關系很好，待人真誠，熱心幫助人，老師十分欣賞你的善良和聰明，希望在以后能夠積極發揮自己的所長，帶領全班不僅在班級管理上有進步，而且能在學習上也能成為全班的領頭雁，在下學期能取得更大的進步!
7. 身為班委的你，對工作認真負責，以身作則，性格和善，與同學關系融洽，積極參加各項活動，不太張揚的你顯得穩重和踏實，在學習上，你認真聽課，及時完成各科作業，但是我總覺得你的學習還不夠主動，沒有形成自己的一套方法，若從被動的學習中解脫出來，應該穩定在班級前五名啊!加油!
8. 你是個懂禮貌明事理的孩子，你能嚴格遵守班級紀律，熱愛集體，對待學習態度端正，上課能夠專心聽講，課下能夠認真完成作業。你的學習方法有待改進，若能做到學習時心無旁騖就好了，掌握知識也不夠牢固，思維能力要進一步培養和提高。只要有恒心，有毅力，老師相信你會在各方面取得長足進步!
9. 你為人熱情大方，能和同學友好相處。你為人正直誠懇，尊敬老師，關心班集體，待人有禮，能認真聽從老師的教導，自覺遵守學校的各項規章制度，抵制各種不良思想。有集體榮譽感，樂于為集體做事。學習刻苦，成績有所提高。上課能專心聽講，思維活躍，積極回答問題，積極思考，認真做好筆記。今后如果能注意分配好學習時間，各科全面發展，均衡提高，相信一定會成為一名更加出色的學生。
10. 記得和你說過，你是個太聰明的孩子，你反應敏捷，活潑靈動。但是做學問是需要靜下心來老老實實去鉆研的，容不得賣弄小聰明和半點頑皮話。要知道，學如逆水行舟，不進則退;心似平原野馬，易放難收!望你下學期重新抖擻精神早日進入狀態，不辜負關愛你的人對你的殷殷期盼。
高中數學教案8
【課題名稱】
《等差數列》的導入
【授課年級】
高中二年級
【教學重點】
理解等差數列的概念，能夠運用等差數列的定義判斷一個數列是否為等差數列。
【教學難點】
等差數列的性質、等差數列“等差”特點的理解，
【教具準備】多媒體課件、投影儀
【三維目標】
㈠知識目標：
了解公差的概念，明確一個等差數列的限定條件，能根據定義判斷一個等差數列是否是一個等差數列；
㈡能力目標：
通過尋找等差數列的共同特征，培養學生的觀察力以及歸納推理的能力；
㈢情感目標：
通過對等差數列概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力。
【教學過程】
導入新課
師：上兩節課我們已經學習了數列的定義以及給出表示數列的幾種方法—列舉法、通項法，遞推公式、圖像法。這些方法分別從不同的角度反映了數列的特點。下面我們觀察以下的幾個數列的例子：
(1)我們經常這樣數數，從0開始，每個5個數可以得到數列：0,5,10,15,20,()
(2)2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目，該項目工設置了7個級別，其中較輕的4個級別體重組成的`數列（單位：kg）為48,53,58,63,()試問第五個級別體重多少？
(3)為了保證優質魚類有良好的生活環境，水庫管理員定期放水清庫以清除水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。即可得到一個數列：18,15.5,13,10.5,8，（），則第六個數應為多少？
(4)10072,10144,10216,(),10360
請同學們回答以上的四個問題
生：第一個數列的第6項為25，第二個數列的第5個數為68，第三個數列的第6個數為5.5，第四個數列的第4個數為10288。
師：我來問一下，你是依據什么得到了這幾個數的呢？請以第二個數列為例說明一下。
生：第二個數列的后一項總比前一項多5，依據這個規律我就得到了這個數列的第5個數為68.
師：說的很好！同學們再仔細地觀察一下以上的四個數列，看看以上的四個數列是否有什么共同特征？請注意，是共同特征。
生1：相鄰的兩項的差都等于同一個常數。
師：很好！那作差是否有順序？是否可以顛倒？
生2：作差的順序是后項減去前項，不能顛倒！
師：正如生1的總結，這四個數列有共同的特征：從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數（即等差）。我們叫這樣的數列為等差數列。這就是我們這節課要研究的內容。
推進新課
等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。從剛才的分析，同學們應該注意公差d一定是由后項減前項。
師：有哪個同學知道定義中的關鍵字是什么？
生2：“從第二項起”和“同一個常數”
高中數學教案9
教學目標：1．進一步理解線性規劃的概念；會解簡單的線性規劃問題；
2．在運用建模和數形結合等數學思想方法分析、解決問題的過程中；提高解決問題的能力；
3．進一步提高學生的合作意識和探究意識。
教學重點：線性規劃的概念及其解法
教學難點：
代數問題幾何化的過程
教學方法：啟發探究式
教學手段：運用多媒體技術
教學過程：1．實際問題引入。
問題一：小王和小李合租了一輛小轎車外出旅游.小王駕車平均速度為每小時70公里，平均耗油量為每小時6公升；小李駕車平均速度為每小時50公里，平均耗油量為每小時4公升.現知道油箱內油量為60公升，兩人駕車時間累計不能超過12小時.問小王和小李分別駕車多少時間時，行駛路程最遠？
2．探究和討論下列問題。
(1)實際問題轉化為一個怎樣的數學問題？
(2)滿足不等式組①的條件的點構成的區域如何表示？
(3)關于x、y的一個表達式z＝70x＋50y的幾何意義是什么？
(4)z的幾何意義是什么？
(5)z的最大值如何確定？
讓學生達成以下共識：小王駕車時間x和小李駕車時間y受到時間(12小時)和油量(60公升)的限制，即
x＋y≤12
6x＋4y≤60 ①
x≥0
y≥0
行駛路程可以表示成關于x、y的一個表達式：z＝70x＋50y 由數形結合可知：經過點B(6，6)的直線所對應的z最大.
則zmax＝6×70＋6×50＝720
結論：小王和小李分別駕車6小時時，行駛路程最遠為720公里.
解題反思：
問題解決過程中體現了那些重要的.數學思想？
3．線性規劃的有關概念。
什么是“線性規劃問題”？涉及約束條件、線性約束條件、目標函數、線性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念.
4．進一步探究線性規劃問題的解。
問題二：若小王和小李駕車平均速度為每小時60公里和40公里，其它條件不變，問小王和小李分別駕車多少時間時，行駛路程最遠？
要求：請你寫出約束條件、目標函數，作出可行域，求出最優解。
問題三：如果把不等式組①中的兩個“≤”改為“≥”，是否存在最優解？
5．小結。
(1)數學知識；(2)數學思想。
6．作業。
(1)閱讀教材：P.60-63；
(2)課后練習：教材P.65-2，3；
(3)在自己生活中尋找一個簡單的線性規劃問題，寫出約束條件，確定目標函數，作出可行域，并求出最優解。
《一個數列的研究》教學設計
教學目標：
1．進一步理解和掌握數列的有關概念和性質；
2．在對一個數列的探究過程中，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力；
3．進一步提高問題探究意識、知識應用意識和同伴合作意識。
教學重點：
問題的提出與解決
教學難點：
如何進行問題的探究
教學方法：
啟發探究式
教學過程：
問題：已知{an}是首項為1，公比為 的無窮等比數列。對于數列{an}，提出你的問題，并進行研究，你能得到一些什么樣的結論？
研究方向提示：
1．數列{an}是一個等比數列，可以從等比數列角度來進行研究；
2．研究所給數列的項之間的關系；
3．研究所給數列的子數列；
4．研究所給數列能構造的新數列；
5．數列是一種特殊的函數，可以從函數性質角度來進行研究；
6．研究所給數列與其它知識的聯系（組合數、復數、圖形、實際意義等）。
針對學生的研究情況，對所提問題進行歸類，選擇部分類型問題共同進行研究、分析與解決。
課堂小結：
1．研究一個數列可以從哪些方面提出問題并進行研究？
2．你最喜歡哪位同學的研究？為什么？
課后思考題： 1．將{an}推廣為一般的無窮等比數列：1，q，q2，…，qn－1，… ，上述一些研究結論會有什么變化？
2．若將{an}改為等差數列：1，1＋d，2＋d，…，1＋(n－1)d，… ，是否可以進行類比研究？
開展研究性學習，培養問題解決能力
一、對“研究性學習”和“問題解決”的認識 研究性學習是一種與接受性學習相對應的學習方式，泛指學生主動探究問題的學習。研究性學習也可以說是一種學習活動：學生在教師指導下，在自己的學習生活和社會生活中選擇課題，以類似科學研究的方式去主動地獲取知識、應用知識、解決問題。
“問題解決”(problem solving)是美國數學教育界在二十世紀八十年代的主要口號，即認為應當以“問題解決”作為學校數學教育的中心。
問題解決能力是一種重要的數學能力，其核心是“創新精神”與“實踐能力”。在數學教學活動中開展研究性學習是培養問題解決能力的主要途徑。
二、“問題解決”課堂教學模式的建構與實踐 以研究性學習活動為載體，以培養問題解決能力為核心的課堂教學模式（以下簡稱為“問題解決”課堂教學模式）試圖通過問題情境創設，激發學生的求知欲，以獨立思考和交流討論的形式，發現、分析并解決問題，培養處理信息、獲取新知、應用知識的能力，提高合作意識、探究意識和創新意識。
（一）關于“問題解決”課堂教學模式
通過實施“問題解決”課堂教學模式，希望能夠達到以下的功能目標：學習發現問題的方法，開掘創造性思維潛力，培養主動參與、團結協作精神，增進師生、同伴之間的情感交流，形成自覺運用數學基礎知識、基本技能和數學思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。
（二）數學學科中的問題解決能力的培養目標
數學問題解決能力培養的目標可以有不同層次的要求：會審題，會建模，會轉化，會歸類，會反思，會編題。
（三）“問題解決”課堂教學模式的教學流程
（四）“問題解決”課堂教學評價標準
1. 教學目標的確定；
2. 教學方法的選擇；
3. 問題的選擇；
4. 師生主體意識的體現；
5.教學策略的運用。
（五）了解學生的數學問題解決能力的途徑
（六）開展研究性學習活動對教師的能力要求
高中數學教案10
整體設計
教學分析
我們在初中的學習過程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質。從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，并將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函數的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函數模型，并且還有思想教育價值。后一個問題讓學生體會其中的函數模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函數的圖象研究指數函數的性質）等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值。
根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持。
三維目標
1、通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質。培養學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想。通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務于生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力。
4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質。展示函數圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函數的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美。
重點難點
教學重點
（1）分數指數冪和根式概念的理解。
（2）掌握并運用分數指數冪的運算性質。
（3）運用有理指數冪的性質進行化簡、求值。
教學難點
（1）分數指數冪及根式概念的理解。
（2）有理指數冪性質的靈活應用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導入新課
思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）什么是平方根？什么是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢？
（3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？
（4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等于a，則這個數叫a的四次方根。一個數的五次方等于a，則這個數叫a的五次方根。一個數的六次方等于a，則這個數叫a的六次方根。
（3）類比(2)得到一個數的n次方等于a，則這個數叫a的n次方根。
（4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。
可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
（1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的.4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質的數，有什么特點？
（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢？
（4）任何一個數a的偶次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等于a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路。
討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數。總的來看，這些數包括正數，負數和零。
（3）一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數。0的任何次方根都是0.
（4）任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數。
類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：
①當n為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
③負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個為na，n為偶數，a的n次方根有兩個為±na.
a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個為na，n為偶數，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例。
思考
根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數。
如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數，nan=a.
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運算性質：
①(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結果為被開方數。
②n為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結果為被開方數。
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方（同次），結果為被開方數的絕對值。
應用示例
思路1
例求下列各式的值：
（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然后看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
（4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵。
知能訓練
（教師用多媒體顯示在屏幕上）
1、以下說法正確的是（）
A.正數的n次方根是一個正數
B.負數的n次方根是一個負數
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。
活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零，n為偶數時，n為奇數時討論一下。再對a是負數，n為偶數時，n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。
當n為奇數時，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解。
課堂小結
學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數，n叫根指數。
（1）當n為偶數時，a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
（3）負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數時，(na)n=a，n為偶數時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業
課本習題2.1A組1.
補充作業：
1、化簡下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設計感想
學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術服務教學。
第2課時
作者：郝云靜
導入新課
思路1.碳14測年法。原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失。對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經過一定的時間，變為原來的一半）。引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪。
思路2.同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節的主講內容，教師板書本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）整數指數冪的運算性質是什么？
（2）觀察以下式子，并總結出規律：a>0，
①；
②a8=(a4)2=a4=，；
③4a12=4(a3)4=a3=；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。
（4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
（5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比(2)的規律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變。
根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。
（3）利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。
（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：
規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
提出問題
（1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？
（2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？
（3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？
（4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？
（5）分數指數冪的意義中，為什么規定a>0，去掉這個規定會產生什么樣的后果？
（6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質是否也適用于有理數指數冪呢？
活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。
規定：正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
（3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
（4）教師板書分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：
正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
（5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果，這只說明分數指數冪在底數小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數冪，也就是說，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。
（6）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題。
應用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數冪的運算性質可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
（2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4）=23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數指數冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算。對于計算的結果，不強求統一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。
例3計算下列各式（式中字母都是正數）。
（1）；
（2）。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質及運算規律擴充到分數指數冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2）=m2n-3=m2n3.
點評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數指數冪的形式為（）
A. B.
C. D.
（5）化簡的結果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因為x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡：。 活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數之間的關系可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 構建解題思路教師適時啟發提示。 解： = = = = 。 點撥：解這類題目，要注意運用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; （2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; （3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。 課堂小結 活動：教師，本節課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點： （1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。 （2）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。 （3）有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 （4）說明兩點： ①分數指數冪的意義是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關系。 ②整數指數冪的運算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算。 作業 課本習題2.1A組2,4. 設計感想 本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務。 第3課時 作者：鄭芳鳴 導入新課 思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數冪呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實數。并且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數。對無理數指數冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無理數指數冪。 思路2.同學們，在初中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數，其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習：指數與指數冪的運算(3)之無理數指數冪，教師板書本節課的課題。 推進新課 新知探究 提出問題 （1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ （2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什么樣的規律？ 2的過剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … （3）你能給上述思想起個名字嗎？ （4）一個正數的無理數次冪到底是一個什么性質的數呢？如，根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ （5）借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？ 活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容： 問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。 問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯。 問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近。 問題(4)對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋。 問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大于2，稱2的過剩近似值。 （2）第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實上表示這些數的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個實數，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明是一個實數。 （3）逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識。 （4）根據(2)(3)我們可以推斷是一個實數，猜測一個正數的無理數次冪是一個實數。 （5）無理數指數冪的意義： 一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。 也就是說無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數。我們規定了無理數指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪。 提出問題 （1）為什么在規定無理數指數冪的意義時，必須規定底數是正數？ （2）無理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？ （3）你能給出實數指數冪的運算法則嗎？ 活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納。 對問題(1)回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定，舉例說明。 對問題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無理數指數冪aα(a>0，α是無理數）是一個確定的實數，那么無理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類似，并且相通。 對問題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無理數指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了。 討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無理數指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂。 （2）因為無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用于無理數指數冪。類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法則： ①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數）。 ②（ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數）。 ③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數）。 （3）指數冪擴充到實數后，指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪。 實數指數冪的運算性質： 對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應用示例 例1利用函數計算器計算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活動：教師教會學生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數值，對于(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最后按=，即可求得它的值； 對于(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可； 對于(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可； 對于(4)，這種無理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。 學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。 例2求值或化簡。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； （2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。 1.教學目標 (1)知識目標: 1.在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程; 2.會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程. (2)能力目標: 1.進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力; 2.使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解; 3.增強學生用數學的意識. (3)情感目標:培養學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣. 2.教學重點.難點 (1)教學重點:圓的標準方程的求法及其應用. (2)教學難點:會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程以及選擇恰 當的坐標系解決與圓有關的實際問題. 3.教學過程 (一)創設情境(啟迪思維) 問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道? [引導] 畫圖建系 [學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習) 解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0) 將x=2.7代入,得 . 即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。 (二)深入探究(獲得新知) 問題二:1.根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為 的圓的方程? 答:x2 y2=r2 2.如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢? [學生活動] 探究圓的方程。 [教師預設] 方法一:坐標法 如圖,設m(x,y)是圓上任意一點,根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r} 由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為 ① 把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2 方法二:圖形變換法 方法三:向量平移法 (三)應用舉例(鞏固提高) i.直接應用(內化新知) 問題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習1) (1)圓心在原點,半徑為3; (2)圓心在 ,半徑為 ; (3)經過點 ,圓心在點 . 2.根據圓的方程寫出圓心和半徑 (1) ; (2) . ii.靈活應用(提升能力) 問題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程. [教師引導]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓. 2.已知圓的方程為 ,求過圓上一點 的切線方程. [學生活動]探究方法 [教師預設] 方法一:待定系數法(利用幾何關系求斜率-垂直) 方法二:待定系數法(利用代數關系求斜率-聯立方程) 方法三:軌跡法(利用勾股定理列關系式) [多媒體課件演示] 方法四:軌跡法(利用向量垂直列關系式) 3.你能歸納出具有一般性的`結論嗎? 已知圓的方程是 ,經過圓上一點 的切線的方程是: . iii.實際應用(回歸自然) 問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱 的長度(精確到0.01m). [多媒體課件演示創設實際問題情境] (四)反饋訓練(形成方法) 問題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程. 2.已知點a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程. 3.求圓x2 y2=13過點(-2,3)的切線方程. 4.已知圓的方程為 ,求過點 的切線方程. 1.課題 填寫課題名稱（高中代數類課題） 2.教學目標 (1)知識與技能： 通過本節課的學習，掌握......知識，提高學生解決實際問題的能力； (2)過程與方法： 通過......（討論、發現、探究），提高......（分析、歸納、比較和概括）的能力； (3)情感態度與價值觀： 通過本節課的學習，增強學生的學習興趣，將數學應用到實際生活中，增加學生數學學習的樂趣。 3.教學重難點 (1)教學重點：本節課的知識重點 (2)教學難點：易錯點、難以理解的知識點 4.教學方法（一般從中選擇3個就可以了） (1)討論法 (2)情景教學法 (3)問答法 (4)發現法 (5)講授法 5.教學過程 (1)導入 簡單敘述導入課題的方式和方法（例：復習、類比、情境導出本節課的課題） (2)新授課程（一般分為三個小步驟） ①簡單講解本節課基礎知識點（例：奇函數的定義）。 ②歸納總結該課題中的重點知識內容，尤其對該注意的一些情況設置易錯點，進行強調。可以設計分組討論環節（分組判斷幾組函數圖像是否為奇函數，并歸納奇函數圖像的特點。設置定義域不關于原點對稱的函數是否為奇函數的易錯點）。 ③拓展延伸，將所學知識拓展延伸到實際題目中，去解決實際生活中的問題。 （在新授課里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過詳細。） (3)課堂小結 教師提問，學生回答本節課的收獲。 (4)作業提高 布置作業（盡量與實際生活相聯系，有所創新）。 6.教學板書 2.高中數學教案格式 一．課題（說明本課名稱） 二．教學目的（或稱教學要求，或稱教學目標，說明本課所要完成的教學任務） 三．課型（說明屬新授課，還是復習課） 四．課時（說明屬第幾課時） 五．教學重點（說明本課所必須解決的關鍵性問題） 六．教學難點（說明本課的學習時易產生困難和障礙的知識傳授與能力培養點） 七．教學方法要根據學生實際，注重引導自學，注重啟發思維 八．教學過程（或稱課堂結構，說明教學進行的內容、方法步驟） 九．作業處理（說明如何布置書面或口頭作業） 十．板書設計（說明上課時準備寫在黑板上的內容） 十一．教具（或稱教具準備，說明輔助教學手段使用的工具） 十二．教學反思：（教者對該堂課教后的感受及學生的收獲、改進方法） 3.高中數學教案范文 【教學目標】 1.知識與技能 (1)理解等差數列的定義，會應用定義判斷一個數列是否是等差數列： (2)賬務等差數列的通項公式及其推導過程： (3)會應用等差數列通項公式解決簡單問題。 2.過程與方法 在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中，培養學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數與方程的思想。 3.情感、態度與價值觀 通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養學生主動探索、用于發現的求知精神，激發學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好習慣。 【教學重點】 ①等差數列的概念; ②等差數列的通項公式 【教學難點】 ①理解等差數列“等差”的.特點及通項公式的含義; ②等差數列的通項公式的推導過程. 【學情分析】 我所教學的學生是我校高一(7)班的學生(平行班學生)，經過一年的高中數學學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他們的智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展。 【設計思路】 1、教法 ①啟發引導法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點，突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性. ②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性. ③講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點. 2、學法 引導學生首先從三個現實問題(數數問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法. 【教學過程】 一、創設情境，引入新課 1、從0開始，將5的倍數按從小到大的順序排列，得到的數列是什么? 2、水庫管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位(單位：m)組成一個什么數列? 3、我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和(單位：元)組成一個什么數列? 教師：以上三個問題中的數蘊涵著三列數. 學生： ①0，5，10，15，20，25，…. ②18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③10072，10144，10216，10288，10360. (設置意圖：從實例引入,實質是給出了等差數列的現實背景,目的是讓學生感受到等差數列是現實生活中大量存在的數學模型.通過分析,由特殊到一般，激發學生學習探究知識的自主性，培養學生的歸納能力. 二、觀察歸納，形成定義 ①0，5，10，15，20，25，…. ②18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③10072，10144，10216，10288，10360. 思考1上述數列有什么共同特點? 思考2根據上數列的共同特點，你能給出等差數列的一般定義嗎? 思考3你能將上述的文字語言轉換成數學符號語言嗎? 教師：引導學生思考這三列數具有的共同特征，然后讓學生抓住數列的特征，歸納得出等差數列概念. 學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數和后數的差符合一定規律;這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定. 教師引導歸納出：等差數列的定義;另外，教師引導學生從數學符號角度理解等差數列的定義. (設計意圖：通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性;使學生體會到等差數列的規律和共同特點;一開始抓住：“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數”，落實對等差數列概念的準確表達.) 三、舉一反三，鞏固定義 1、判定下列數列是否為等差數列?若是，指出公差d. (1)1,1,1,1,1; (2)1,0,1,0,1; (3)2,1,0,-1,-2; (4)4,7,10,13,16. 教師出示題目,學生思考回答.教師訂正并強調求公差應注意的問題. 注意：公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0. (設計意圖：強化學生對等差數列“等差”特征的理解和應用). 2、思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1，該數列是等差數列嗎?為什么? (設計意圖：強化等差數列的證明定義法) 四、利用定義，導出通項 1、已知等差數列：8，5，2，…，求第200項? 2、已知一個等差數列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢? 教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法;讓學生初步嘗試處理數列問題的常用方法. (設計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養學生合理的推理能力.學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創新的品質，激發學生的創造意識.鼓勵學生自主解答，培養學生運算能力) 五、應用通項，解決問題 1、判斷100是不是等差數列2，9，16，…的項?如果是，是第幾項? 2、在等差數列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an. 3、求等差數列3,7,11，…的第4項和第10項 教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況. 學生：教師叫學生代表總結此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式 (設計意圖：主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯系.初步認識“基本量法”求解等差數列問題.) 六、反饋練習：教材13頁練習1 七、歸納總結： 1、一個定義： 等差數列的定義及定義表達式 2、一個公式： 等差數列的通項公式 3、二個應用： 定義和通項公式的應用 教師：讓學生思考整理，找幾個代表發言，最后教師給出補充 (設計意圖：引導學生去聯想本節課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念.) 【設計反思】 本設計從生活中的數列模型導入，有助于發揮學生學習的主動性，增強學生學習數列的興趣.在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.本節課教學采用啟發方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率. 教學目標： (1)理解子集、真子集、補集、兩個集合相等概念; (2)了解全集、空集的意義。 (3)掌握有關子集、全集、補集的符號及表示方法，會用它們正確表示一些簡單的集合，培養學生的符號表示的能力; (4)會求已知集合的子集、真子集，會求全集中子集在全集中的補集; (5)能判斷兩集合間的包含、相等關系，并會用符號及圖形(文氏圖)準確地表示出來，培養學生的數學結合的數學思想; (6)培養學生用集合的觀點分析問題、解決問題的能力。 教學重點： 子集、補集的概念 教學難點： 弄清元素與子集、屬于與包含之間的區別 教學用具： 幻燈機 教學過程設計 (一)導入新課 上節課我們學習了集合、元素、集合中元素的三性、元素與集合的關系等知識。 【提出問題】(投影打出) 已知xx，xx，xx，問： 1、哪些集合表示方法是列舉法。 2、哪些集合表示方法是描述法。 3、將集M、集從集P用圖示法表示。 4、分別說出各集合中的元素。 5、將每個集合中的元素與該集合的關系用符號表示出來、將集N中元素3與集M的關系用符號表示出來。 6、集M中元素與集N有何關系、集M中元素與集P有何關系。 【找學生回答】 1、集合M和集合N;(口答) 2、集合P;(口答) 3、(筆練結合板演) 4、集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1、(口答) 5、xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx(筆練結合板演) 6、集M中任何元素都是集N的元素、集M中任何元素都是集P的元素、(口答) 【引入】在上面見到的集M與集N;集M與集P通過元素建立了某種關系，而具有這種關系的兩個集合在今后學習中會經常出現，本節將研究有關兩個集合間關系的問題、 (二)新授知識 1、子集 (1)子集定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。 記作：xx讀作：A包含于B或B包含A 當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作：AxxB或BxxA、 性質：①xx(任何一個集合是它本身的子集) ②xx(空集是任何集合的子集) 【置疑】能否把子集說成是由原來集合中的部分元素組成的集合? 【解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合。 因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的`空集也是B的子集，而這個集合中并不含有B中的元素、由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的。 (2)集合相等：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B。 例：xx，可見，集合xx，是指A、B的所有元素完全相同。 (3)真子集：對于兩個集合A與B，如果xx，并且xx，我們就說集合A是集合B的真子集，記作：xx(或xx)，讀作A真包含于B或B真包含A。 【思考】能否這樣定義真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。” 集合B同它的真子集A之間的關系，可用文氏圖表示，其中兩個圓的內部分別表示集合A，B。 【提問】 (1)xx寫出數集N，Z，Q，R的包含關系，并用文氏圖表示。 (2)xx判斷下列寫法是否正確 ①xxAxx②xxAxx③xx④AxxA 性質： (1)空集是任何非空集合的真子集。若xxAxx，且A≠xx，則xxA; (2)如果xx，xx，則xx。 例1xx寫出集合xx的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集、 解：集合xx的所有的子集是xx，xx，xx，xx，其中xx，xx，xx是xx的真子集。 【注意】(1)子集與真子集符號的方向。 (2)易混符號 ①“xx”與“xx”：元素與集合之間是屬于關系;集合與集合之間是包含關系。如xxR，{1}xx{1，2，3} ②{0}與xx：{0}是含有一個元素0的集合，xx是不含任何元素的集合。 如：xx{0}。不能寫成xx={0}，xx∈{0} 例2xx見教材P8(解略) 例3xx判斷下列說法是否正確，如果不正確，請加以改正、 (1)xx表示空集; (2)空集是任何集合的真子集; (3)xx不是xx; (4)xx的所有子集是xx; (5)如果xx且xx，那么B必是A的真子集; (6)xx與xx不能同時成立、 解：(1)xx不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以(1)不正確; (2)不正確、空集是任何非空集合的真子集; (3)不正確、xx與xx表示同一集合; (4)不正確、xx的所有子集是xx; (5)正確 (6)不正確、當xx時，xx與xx能同時成立、 例4xx用適當的符號(xx，xx)填空： (1)xx;xx;xx; (2)xx;xx; (3)xx; (4)設xx，xx，xx，則AxxBxxC、 解：(1)0xx0xx; (2)xx=xx，xx; (3)xx，xx∴xx; (4)A，B，C均表示所有奇數組成的集合，∴A=B=C、 【練習】教材P9 用適當的符號(xx，xx)填空： (1)xx;xx(5)xx; (2)xx;xx(6)xx; (3)xx;xx(7)xx; (4)xx;xx(8)xx、 解：(1)xx;(2)xx;(3)xx;(4)xx;(5)=;(6)xx;(7)xx;(8)xx、 提問：見教材P9例子 (二)xx全集與補集 1、補集：一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集(即xx)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)，記作xx，即 、 A在S中的補集xx可用右圖中陰影部分表示、 性質：xxS(xxSA)=A 如：(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，則xxSA={2，4，6}; (2)若A={0}，則xxNA=N; (3)xxRQ是無理數集。 2、全集： 如果集合S中含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用xx表示。 注：xx是對于給定的全集xx而言的，當全集不同時，補集也會不同。 例如：若xx，當xx時，xx;當xx時，則xx。 例5xx設全集xx，xx，xx，判斷xx與xx之間的關系。 解： 練習：見教材P10練習 1、填空： xx，xx，那么xx，xx。 解：xx， 2、填空： (1)如果全集xx，那么N的補集xx; (2)如果全集，xx，那么xx的補集xx(xx)=xx、 解：(1)xx;(2)xx。 (三)小結：本節課學習了以下內容： 1、五個概念(子集、集合相等、真子集、補集、全集，其中子集、補集為重點) 2、五條性質 (1)空集是任何集合的子集。ΦxxA (2)空集是任何非空集合的真子集。ΦxxAxx(A≠Φ) (3)任何一個集合是它本身的子集。 (4)如果xx，xx，則xx、 (5)xxS(xxSA)=A 3、兩組易混符號：(1)“xx”與“xx”：(2){0}與 (四)課后作業：見教材P10習題1、2 猴子搬香蕉 一個小猴子邊上有100根香蕉，它要走過50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被壓死了），它每走1米就要吃掉一根，請問它最多能把多少根香蕉搬到家里？ 解答： 100只香蕉分兩次，一次運50只，走1米，再回去搬另外50只，這樣走了1米的時候，前50只吃掉了兩只，后50只吃掉了1只，剩下48＋49只；兩米的時候剩下46＋48只；...到16米的時候剩下（50－2×16）＋（50－16）＝18＋34只；17米的時候剩下16＋33只，共49只；然后把剩下的這49只一次運回去，要走剩下的33米，每米吃一個，到家還有16個香蕉。 河岸的距離 兩艘輪船在同一時刻駛離河的兩岸，一艘從A駛往B，另一艘從B開往A，其中一艘開得比另一艘快些，因此它們在距離較近的岸500公里處相遇。到達預定地點后，每艘船要停留15分鐘，以便讓乘客上下船，然后它們又返航。這兩艘渡輪在距另一岸100公里處重新相遇。試問河有多寬？ 解答： 當兩艘渡輪在x點相遇時，它們距A岸500公里，此時它們走過的距離總和等于河的寬度。當它們雙方抵達對岸時，走過的總長度 等于河寬的兩倍。在返航中，它們在z點相遇，這時兩船走過的距離之和等于河寬的三倍，所以每一艘渡輪現在所走的距離應該等于它們第一次相遇時所走的距離的三倍。在兩船第一次相遇時，有一艘渡輪走了500公里，所以當它到達z點時，已經走了三倍的距離，即1500公里，這個距離比河的寬度多100公里。所以，河的寬度為1400公里。每艘渡輪的上、下客時間對答案毫無影響。 變量交換 不使用任何其他變量，交換a，b變量的值？ 分析與解答 a = a+b b = a-b a= a-b 步行時間 某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁溫斯頓的家在郊區一個小鎮的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車回小鎮。小鎮車站離家還有一段距離，他的私人司機總是在同一時刻從家里開出轎車，去小鎮車站接總裁回家。由于火車與轎車都十分準時，因此，火車與轎車每次都是在同一時刻到站。 有一次，司機比以往遲了半個小時出發。溫斯頓到站后，找不到 他的車子，又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿著公路步行往家里走，途中遇到他的.轎車正風馳電掣而來，立即招手示意停車，跳上車子后也顧不上罵司機，命其馬上掉頭往回開。回到家中，果不出所料，他老婆大發雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘??”。溫斯頓步行了多長時間？ 解答： 假如溫斯頓一直在車站等候，那么由于司機比以往晚了半小時出發，因此，也將晚半小時到達車站。也就是說，溫斯頓將在車站空等半小時，等他的轎車到達后坐車回家，從而他將比以往晚半小時到家。而現在溫斯頓只比平常晚22分鐘到家，這縮短下來的8分鐘是如果總裁在火車站死等的話，司機本來要花在從現在遇到溫斯頓總裁的地點到火車站再回到這個地點上的時間。這意味著，如果司機開車從現在遇到總裁的地點趕到火車站，單程所花的時間將為4分鐘。因此，如果溫斯頓等在火車站，再過4分鐘，他的轎車也到了。也就是說，他如果等在火車站，那么他也已經等了30-4=26分鐘了。但是懼內的溫斯頓總裁畢竟沒有等，他心急火燎地趕路，把這26分鐘全都花在步行上了。 因此，溫斯頓步行了26分鐘。 付清欠款 有四個人借錢的數目分別是這樣的：阿伊庫向貝爾借了10美元； 貝爾向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊庫借了40美元。碰巧四個人都在場，決定結個賬，請問最少只需要動用多少美金就可以將所有欠款一次付清？ 解答： 貝爾、查理、迪克各自拿出10美元給阿伊庫就可解決問題了。這樣的話只動用了30美元。最笨的辦法就是用100美元來一一付清。 貝爾必須拿出10美元的欠額，查理和迪克也一樣；而阿伊庫則要收回借出的30美元。再復雜的問題只要有條理地分析就會很簡單。養成經常性地歸納整理、摸索實質的好習慣。 一美元紙幣 注：美國貨幣中的硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元這幾種面值。 一家小店剛開始營業，店堂中只有三位男顧客和一位女店主。當這三位男士同時站起來付帳的時候，出現了以下的情況： （1）這四個人每人都至少有一枚硬幣，但都不是面值為1美分或1美元的硬幣。 （2）這四人中沒有一人能夠兌開任何一枚硬幣。 （3）一個叫盧的男士要付的賬單款額最大，一位叫莫的男士要 付的帳單款額其次，一個叫內德的男士要付的賬單款額最小。 （4）每個男士無論怎樣用手中所持的硬幣付賬，女店主都無法找清零錢。 （5）如果這三位男士相互之間等值調換一下手中的硬幣，則每個人都可以付清自己的賬單而無需找零。 （6）當這三位男士進行了兩次等值調換以后，他們發現手中的硬幣與各人自己原先所持的硬幣沒有一枚面值相同。 （7）隨著事情的進一步發展，又出現如下的情況： （8）在付清了賬單而且有兩位男士離開以后，留下的男士又買了一些糖果。這位男士本來可以用他手中剩下的硬幣付款，可是女店主卻無法用她現在所持的硬幣找清零錢。于是，這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢，但是現在女店主不得不把她的全部硬幣都找給了他。 現在，請你不要管那天女店主怎么會在找零上屢屢遇到麻煩，這三位男士中誰用1美元的紙幣付了糖果錢？ 解答： 對題意的以下兩點這樣理解： （2）中不能換開任何一個硬幣，指的是如果任何一個人不能有2個5分，否則他能換1個10分硬幣。 （6）中指如果A，B換過，并且A，C換過，這就是兩次交換。 （一）教學具準備 直尺，投影儀． （二）教學目標 1．掌握，的定義域、值域、最值、單調區間． 2．會求含有、的三角式的定義域． （三）教學過程 1．設置情境 研究函數就是要討論一些性質，，是函數，我們當然也要探討它的一些屬性．本節課，我們就來研究正弦函數、余弦函數的最基本的兩條性質． 2．探索研究 師：同學們回想一下，研究一個函數常要研究它的哪些性質？ 生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等． 師：很好，今天我們就來探索，兩條最基本的性質定義域、值域．（板書課題正、余弦函數的定義域、值域．） 師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像． 師：請同學思考以下幾個問題： （1）正弦、余弦函數的定義域是什么？ （2）正弦、余弦函數的值域是什么？ （3）他們最值情況如何？ （4）他們的正負值區間如何分？ （5）的解集如何？ 師生一起歸納得出： （1）正弦函數、余弦函數的定義域都是． （2）正弦函數、余弦函數的值域都是即，，稱為正弦函數、余弦函數的有界性． （3）取最大值、最小值情況： 正弦函數，當時，（）函數值取最大值1，當時，（）函數值取最小值－1． 余弦函數，當，（）時，函數值取最大值1，當，（）時，函數值取最小值－1． （4）正負值區間： （） （5）零點：（） （） 3．例題分析 【例1】求下列函數的定義域、值域： （1）；（2）；（3）． 解：（1）， （2）由（） 又∵，∴ ∴定義域為（），值域為． （3）由（），又由 ∴ ∴定義域為（），值域為． 指出：求值域應注意用到或有界性的條件． 【例2】求下列函數的最大值，并求出最大值時的集合： （1），；（2），； （3）（4）． 解：（1）當，即（）時，取得最大值 ∴函數的最大值為2，取最大值時的集合為． （2）當時，即（）時，取得最大值． ∴函數的最大值為1，取最大值時的集合為． （3）若，，此時函數為常數函數． 若時，∴時，即（）時，函數取最大值， ∴時函數的最大值為，取最大值時的集合為． （4）若，則當時，函數取得最大值． 若，則，此時函數為常數函數． 若，當時，函數取得最大值． ∴當時，函數取得最大值，取得最大值時的集合為；當時，函數取得最大值，取得最大值時的集合為，當時，函數無最大值． 指出：對于含參數的最大值或最小值問題，要對或的.系數進行討論． 思考：此例若改為求最小值，結果如何？ 【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件？ （1）；（2）． 解：（1）由， ∴當時，式子有意義． （2）由，即 ∴當時，式子有意義． 4．演練反饋（投影） （1）函數，的簡圖是（） （2）函數的最大值和最小值分別為（） A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 （3）函數的最小值是（） A．B．－2 C．D． （4）如果與同時有意義，則的取值范圍應為（） A．B．C．D．或 （5）與都是增函數的區間是（） A．，B．， C．，D．， （6）函數的定義域________，值域________，時的集合為_________． 參考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．；； 5．總結提煉 （1），的定義域均為． （2）、的值域都是 （3）有界性： （4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無限集． （5）正負敬意及零點，從圖上一目了然． （6）單調區間也可以從圖上看出． （四）板書設計 1．定義域 2．值域 3．最值 4．正負區間 5．零點 例1 例2 例3 課堂練習 課后思考題：求函數的最大值和最小值及取最值時的集合 提示： 【高中數學教案】相關文章： 高中數學教案12-30 高中數學教案02-21 高中數學教案【熱門】01-25 高中數學教案【推薦】01-25 高中數學教案【薦】01-25 高中數學教案【熱】01-25 高中數學教案模板02-02 高中數學教案優秀12-10 高中數學教案（通用）10-27 高中數學教案(精品)06-28高中數學教案11
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