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    小學數學教案

    時間:2023-07-21 07:11:03 數學教案 我要投稿

    小學數學教案匯編【3篇】

      作為一位不辭辛勞的人民教師,可能需要進行教案編寫工作,編寫教案有利于我們弄通教材內容,進而選擇科學、恰當的教學方法。那么大家知道正規的教案是怎么寫的嗎?下面是小編為大家整理的小學數學教案3篇,僅供參考,希望能夠幫助到大家。

    小學數學教案匯編【3篇】

    小學數學教案 篇1

      設計說明

      課程內容的選擇要貼近學生的實際生活,有利于學生的體驗和理解、思考與探究。在實際生活中,蘊涵著大量的用小數加減法解決的問題。因此,在本節課的教學設計中,選取了學生熟悉的、具有一定聯系的、符合學生認知特點的生活素材來開展教學活動。

      1.結合情境進行有效學習。

      《數學課程標準》中指出:數學與生活緊密聯系,數學來源于生活,而又服務于生活。在本節課的教學過程中,通過呈現兩名同學在書店購買圖書的全過程,引入小數的加減法。通過讓學生發現生活中的數學問題,尋求解決問題的方法,使學生掌握小數加減法的計算方法,從而培養學生學習數學的興趣。

      2.自主探究,實現知識遷移。

      上課伊始,通過情境的創設,有目的`地對學生的思路進行引導。當學生在對所提的問題進行解決時,讓學生自己去探究算法。在學生的匯報中追問:“怎樣才能保證相同的數位對齊呢?”學生馬上就會說出只要小數點對齊就可以了。這樣學生在知識的學習上自然是水到渠成,并且印象深刻。由于有了之前對整數加減法的認識和探究中適時的點撥,學生很自然地實現了從整數加減法到小數加減法的知識遷移。

      課前準備

      教師準備 多媒體課件

      教學過程

      ⊙創設情境

      出示教材71頁主題圖。

      師:星期天,小麗和小林相約到書店買書。小林買了一本詞典,小麗買了一本《數學家的故事》和一本《童話選》。

      師:讀書可以開闊我們的視野,陶冶情操。在小麗和小林買書的情境中,還蘊涵著許多的數學知識,讓我們一起去探究吧!(板書課題)

      設計意圖:通過出示主題圖,讓學生感受數學學習的價值及數學知識在生活中應用的廣泛性。

      ⊙探究新知

      1.提出問題。

      根據主題圖提供的信息,提出問題:小麗買這兩本書一共花了多少錢?

      2.探究小數加法的計算方法。

      (1)課件出示兩本書的價錢:《數學家的故事》6.45元,《童話選》4.29元。

      (2)列式:6.45+4.29。

      (3)比較這道題和以前學習的加法算式有什么不同。

      師:整數加減法在列式計算時要注意什么呢?

      預設

      生1:相同數位要對齊,從個位算起。

      生2:哪一位相加滿十就要向前一位進1,哪一位不夠減就要向前一位借1當10,然后再算。

      師:整數加減法的計算方法是否同樣適用于小數加減法呢?請同學們按照課堂活動卡小組合作進行探究。

      (4)學生匯報。

      生1:通過討論,我們小組發現:小數加法的計算方法和整數加法的計算方法應該是一樣的,要保證相同計數單位上的數相加,在列豎式計算時,百分位上的5要和9對齊,十分位上的4要和2對齊,個位上的6要和4對齊,計算結果是10.74元。

      生2:通過討論,我們小組發現:在計算小數加法時,相同數位要對齊實際上就是小數點要對齊,小數點對齊了,相同數位也就對齊了。

      師:同學們的發現很有道理,能夠通過整數加法的計算方法類推出小數加法的計算方法,真了不起!的確是這樣,在計算小數加法時一定要注意小數點要對齊,也就保證了相同數位對齊。

      3.探究小數減法的計算方法。

      (1)根據這兩本書的價錢再提出一個減法問題。

      預設

      生:《數學家的故事》比《童話選》貴多少錢?

      (2)獨立列式解決這道題。

      (3)學生匯報。

      生1:我列的算式是6.45-4.29=2.16(元)。

      生2:計算小數減法時,相同數位相減,不夠減的時候要向前一位借1當10,然后再算。

      師:為什么要把小數點對齊?(把小數點對齊也就是把相同數位對齊)

      (4)教師小結:計算小數加減法時,先把各數的小數點對齊,也就是把相同數位對齊,再按照整數加減法的計算方法進行計算,最后在得數里對齊橫線上的小數點點上小數點。

      設計意圖:學生自主提出問題,自主解決問題,自主歸納小數加減法的計算方法,這一過程充分尊重了學生已有的知識經驗,提升了學生遷移類推的能力,使學生感受到數學知識的特點。

    小學數學教案 篇2

      教材分析

      教材先通過學生熟悉的背景材料向學生介紹南京長江大橋,從而引出萬以內數的認識。教材根據兒童已有的經驗、心理發展規律按從易到難螺旋上升的編排原則,創設了一幅幅現實的、有數學意義的畫面,它不僅是進行大數計算的基礎,而且對實際生活中也有著廣泛的應用。掌握萬以內數的讀寫法,是學習萬以上數的讀寫法的基礎,從例題看,例4提供和創設更多的現實情境,讓學生感受一萬的大小和萬以內數的特征。例5先出示小木塊的直觀圖片,請學生觀察,說一說圖上有多少個小木塊,是怎么發現的。然后試著在計數器上畫一畫(撥一撥),再讀一讀、寫一寫、組織學生在小組內交流自己是怎么讀的,怎么寫的,最后填一填數的組成。教學中教師可組織多種多樣的學習活動:估一估、數一數、想一想、認一認、說一說、拿一拿、比一比等,使學生通過大量的感性認識形成數的表象,進一步體會數的意義。同時,讓學生在輕松愉悅的活動中,產生強烈的求知欲,提高學生的數學素養,建立自信心,養成正確的學習態度,良好的學習習慣。

      學情分析

      數學來源于生活,就要取之于生活,用之于生活。學生在日常生活和活動中,經常遇到很多有關大數的知識,雖然這些概念往往是非正規的、不系統的、模糊的、但都為他們的學習奠定了必要的基礎。因而從會場的人數到感知一千、一萬粒黃豆,一千一萬粒小正方體,最后延伸到樓房的高度、鷺江的寬度、大橋的長度以及山峰的高度。整節課充分挖掘生活中的數學信息,并根據學生的年齡特點及認知規律,提供充分的從事數學活動的機會,注重讓學生親身經歷數學知識的形成過程,使學生感受數學與生活的密切聯系,體會到學習大數的必要性,與“數”交朋友。

      教學目標

      1。 結合生活實際,體會生活中有大數,感受學習大數的必要性,經歷數數的過程,能認識萬以內的數,結合實際物體知道這些數的組成與分解。初步能用符號和詞語描述萬以內數的大小。認識”萬位”及其位值,能說出萬以內各數位的名稱及相鄰數位之間的進率。

      2。 經歷估一估、數一數、想一想、認一認、說一說、拿一拿、比一比等數學實踐活動,體驗感受萬以內數的大小,培養數感。

      3、進一步學習用具體的數描述生活中的事物,經歷與他人交流活動,培養學習數學的興趣和自信心。

      教學重點和難點

      “萬”的認識與數感的培養及接近整千、整萬的數的數數。

      教學過程

      一、創設情境,激趣引問

      〈引導學生從身邊情景,談感受、估人數、提問題,導入新課〉

      師:孩子們,我今天來到這里,你有什么感受?

      師:那你們來估一估今天會場上的有多少位老師?

      師:剛才大家估的數都比一千怎么樣呢?

      師:那今天這節課我們就來學習比一千大的數。

      [評析:數學是生活的數學,學生學習的數學素材就在身邊,教師巧妙的利用會場上聽課教師的人數這一資源引導學生展開“猜”數的活動而引入新課的學習,自然有效。]

      二、合作探究,認識新知

      (一) 估豆子活動,認識一萬

      1、 先估測后參與感知一千粒豆子所占的空間。

      師:孩子們,在每個組的桌面上有這樣的一袋的豆子,看這是一粒,(師拿出一小袋豆子)那么這有幾粒?

      師:你是怎么知道的?

      師:(師又拿出一袋稍大些的豆子)在每個小組的桌面上都有這樣的一袋豆子,你估一估這里有多少粒?

      [師引導學生先觀察后估]

      師:你們想知道這里有多少粒嗎?告訴大家有一百粒。剛才誰猜對了?估得真準。(拿出一大袋豆子)現在誰來估一估這一大袋又會有多少粒豆子呢?(很多學生舉手)

      師:有沒不同意見?(沒人舉手)看來大家都是這么認為的?我們估得到底對不對呢?下面就來驗證一下,請九個小組的小組長帶上一百粒的豆子上臺倒入杯中。看,我這里有一百粒的豆子,將它倒入杯中,現在杯中有多少?(小組長繼續倒)大家一起數,二百、三百……一千。

      師:杯子里現在有一千粒的豆子,我將它倒入袋子里,看來大家都估對了。孩子們,回憶一下,我們剛才是怎么數出一千粒豆子的,是一十一十地數還是怎么數?

      生:一百一百地數

      (板書:一百一百地數10個一百是一千)

      [評析:千以內數的數值以及相鄰數位間的進率是學生的舊知,也是學生拓展認識萬以內數的認知基礎,對于學生的認知背景教師不是采用簡單的抽象提問導出,而是引導學生在經歷參與估不同的豆子數以及數豆子的實踐活動中自然引出舊知,既有效的培養了學生的'數感,又有效的為下一個數學活動提供感知的基礎。]

      2、感知一萬粒豆子

      (1)結合包裝的豆子,經歷數數活動認識“一千一千”數的方法,感受用“一千一千”數大數的必要性。

      師:我將這一千粒一袋的豆子放入這大罐子中,如果每組都放進來會有多少呢?我們一起數一數。(師穿梭于各組之中,小組長陸續將袋子放入罐子里。)

      師:孩子們,剛才老師走了一圈,現在罐子里有多少粒豆子?

      師:你們是怎么數的?

      師:一千一千地數,大家都會數了嗎?

      師:看,這是什么?

      師:我們一起來一千一千地數數到一萬。

      (電腦逐個出示數射線:

      1000

      0 一千二千 三千 四千五千六千七千八千九千一萬

      師:剛才我們一千一千地數,數出了幾個一千? 10個一千是多少?

      (板書:一千一千地數10個一千是一萬)

      [評析:讓學生在實際的數豆子活動中感受到對于比一千大的數還可以用一千、一千的數的方法進行數數,并通過數豆子使學生初步感知到一萬的大小,從而有利于學生已有對千以內數的拓展認識。]

      (2)、進行一千到一萬以及一萬到一千的數數,感知“萬”的數數活動。

      a、“一千一千”的順數與倒數

      師:看來大家一千一千地順數到一萬一點困難都沒有,那誰會從一萬一千一千地倒數回一千嗎?(生數)你們都想數一數嗎?好,請同桌的兩位同學互相數,從一千開始一千一千地數到一萬,再從一萬開始一千一千地倒數回一千。

      (活動后生互評)

      b、穿插“一百一百”的數,重點解決幾千九百滿十進一到整千的難點問題。

      師:看來一千一千地數是難不倒大家了,如果老師這有更大的數,但它不是整千數你還會一千一千地數嗎?

      師:一百一百地數你們會嗎?我們試試,從一千起,一百一百地數到二千,誰會?

      師:他數對了嗎?誰會從一千五百開始,一百一百地數到二千五百?

      師:他數得怎么樣?

      師:我發現剛才大家都不約而同地一起數起來,可見,這樣的數數都難不倒大家,想不想來點挑戰的?看,我帶來了什么?

      師:在計數器上有哪些我們以前認識的新朋友呢?

      師:我要在計數器上撥珠了,仔細看,這是什么數?

      師:你能從九千五百起一百一百地數到一萬嗎?(師邊演示生邊數)

      師:九千九百后會是多少呢?看,九千九百再加一個百就怎樣?

      師:這個一該向哪一位進?千位進一后又會有什么變化?

      師:那這時該向哪一位進?

      師:這個萬就是我們今天認識的新朋友。

      (板書:萬以內數)

      【評析:從幾千九百滿十進一到整千乃至于整萬的數數是本課的教學難點,教師采用多種形式的數數活動予以重點解決,是有效的而又必須的;利用計數器的輔助手段既有利于學生對于“萬”這一新的數位的認識,而又在形象的從幾千九百滿十進一到整千乃至于整萬的數數認知過程掌握了萬以內相鄰數位的進率。】

      (3)結合具體事物讓學生參與拿指定數量豆子的活動,引導學生認識萬以內數的組成與分解。

      師:孩子們,看來一百一百地數從九千數到一萬這里還有一個連續進位的過程,你們都會嗎?

      師:孩子們,在生活中還有一些大數它既不是整千數也不是幾千幾百的數你會認識它嗎?我

      們試試,在講臺上,我準備了10袋一千的豆子,10袋一百的豆子,10袋十粒的豆子和一些零散的豆子,我說一個數請一位同學來上臺拿豆子,拿出多少呢?誰會?(板書:四千三百二十一)

      師:下面的的同學當小裁判,對的用掌聲給他鼓勵,有問題的請舉手,明白了嗎?好,我們開始,(生拿出4個大袋,3個中袋,2個小袋和1粒豆子)你說說你是怎么拿的?

      師:他拿對了嗎?(對了)我這還有一個數,它可特別了,它會是誰呢?

      (板書:九千九百九十九)

      師:你會拿嗎?你打算怎么拿?

      師:她拿對了嗎?

      師:哦,你有什么好方法?

      【評析:學生能否對于數進行正確的組成與分解,是數概念是否建立的一個重要指標,在教學中教師不是簡單的采用問答式的抽象提問,而是設計讓學生在具體的拿豆子活動中進行檢驗,既有利于讓學生理解掌握萬以內數的組成與分解,無疑將有效培養學生的數感。】

      (4)引導進行感知抽象活動,結合數軸讓學生在初步認識萬以內數的基礎上,自主表達整千數的大小關系

      師:現在我請大家觀察屏幕上的數射線,你發現了什么?

      師:我在這條數射線上看到一個數六千,你看到哪一個數?

      師:它在六千的哪一邊?

      師:真好,你都能想到它們的大小關系了,你們還能看到什么數?

      師:太好了,你能用不同的角度來看它們的關系。孩子們,接著我請你們閉上小眼睛,將這條數射線記在腦海中,睜開眼睛。你還能看見它嗎?(電腦上的數射線消失)

      師:現在你能想到什么數?

      (生各抒己見)

      【評析:數概念建立的另一個指標是能否理解掌握相應的數大小的關系與比較,教師設計讓學生在數射線上認識萬以內整千數,并讓學生對整千數之間的方向、位置、大小及簡單的關系進行表述認知,有助于學生從對萬以內數的形象感知向抽象認識進行過渡。】

      (二)、體驗感知“一萬”

      (1)感知“一萬”字

      師:在我手上是一張的報紙,估估看,這樣一面有多少個字

      師:想知道嗎?怎么辦?

      師:你想怎么分呢?

      師:好,看我先把它對折,對折,再對折,現在,有誰知道有幾個字?

      師:想知道嗎?看,這樣的一面,我數了數大約是一千字,這樣(二千)(師慢慢張開報紙)多少?

      師:這樣的一面報紙大約有八千個字。

      (2)感知“一萬”粒

      師:這有一個大正方體,它由多少個小正方體拼成?

      師:有兩個大正方體,會有幾個小正方體拼成?

      師:5個呢?(五千)一萬個小正方體可以拼成幾個大正方體?

      【評析:結合實際事物采用估測與比對的方法,既有利于豐富學生對萬以內數的感知,而又適時滲透合理估算的數學活動經驗。】

      三、聯系實際,發展數感

      (1)展示學生身邊熟悉的生活圖片,感知大數,培養數感。

      師:孩子們,其實在生活中有很多這樣的例子,(電腦出示東方明珠)這是哪兒?去過嗎?

      師:它有多高?

      師:是嗎?(電腦出示)四百六十八米,他的知識面挺豐富的。四百六十八米有多高呢?我們的教學樓有多高?(大約20米)也就是大約23幢教學樓那么高。(生“哇”聲一片)

      師:這沒什么,還沒有一千米呢,我帶你們去看一座橋(電腦出示南浦大橋)這是哪里?

      師:太著名了,它有多長?你總算舉手,你說說

      師:你去過嗎?有什么感受?

      師:他用了兩個很字來形容,如果我把南浦大橋立起來有多高?

      師:有這么高的地方嗎?

      師:(電腦出示)你知道它有多長嗎?

      師:剛才那個同學說有多長?看(電腦出示)八千八百四十四米有多高?

      師:你說得太好了,就這樣大家想象一下有多高。

      [評析:結合學生身邊熟悉的事物進行比對想象活動,有利于培養與發展學生的數感]

      (2)回歸課堂升華認識

      師:今天同學們上完這節課你學到了什么?最后,請大家回過頭來看一下,我們今天的會場大約有多少人?

      師:今天這個會場坐滿了,大約可以坐六千人,現在你們有所了解了嗎?這就是我們今天認識的萬以內的數。

      (板書:認識)

      四、深化拓展

      數字游戲(作業)

      以一萬元人民幣的不同拿法,讓學生感知萬以內數的大小,深化理解萬以內相鄰計數單位間的進率,培養學生學習數學的情感。

    小學數學教案 篇3

      教學目標:

      1、結合生活情景認識角,知道角的各部分名稱,會用不同的方法和材料做出角。

      2、在操作活動中體驗感知角有大小,會用多種方法來比較角的大小,在探索角的大小比較的過程中,發展數學思考能力。

      3、在創造性使用工具和材料來制作角和比較角的大小的過程中,體驗解決問題策略的多樣性,培養學生的動手實踐能力和創新意識。

      教學重點:在直觀感知中抽象出角的形狀。

      教學難點:體會角的大小與兩邊叉開的程度有關,探索多種角的大小比較方法。

      教具學具準備:多媒體課件、小棒、兩根硬紙條、圓形的手工紙、一根毛線

      主要教學理念及選用的教學方法:

      操作與思維是互不可分的,操作是前提,思維是關鍵。在本節課中通過看一看、找一找、做一做、比一比等活動,促進學生思考,鼓勵學生交流。在活動時教師大膽放手,采用小組合作、自主探究的學習方式,引導學生自己進行探索。在探究知識的同時,既加深學生對角的認識,又豐富數學活動的經驗。學生通過有趣的探究活動,品嘗到了自主、合作、探究學習的成功和喜悅,自信心和成就感也隨之增強了。

      教學過程:

      一、 創設情境,引入新課

      1、故事導入

      談話: 在數學王國里住著一群可愛的圖形娃娃,他們整天在一起唱歌,跳舞,做游戲可開心啦!其中就數角娃娃最調皮了,這不,在圖形娃娃們玩捉迷藏游戲的時候,角娃娃躲到了我們生活中的一些物體上來了,你能把它找出來嗎?

      2、揭示課題

      今天,這節課就讓我們一起來找角娃娃,并與角交朋友,好嗎?

      [教學設想:這一環節創設了學生喜愛的故事情境,激發學生的學習興趣,引導學生進一步探究學習,同時幫助學生找到生活與新知的鏈結點,即圖形中都藏著角。]

      二、操作時間感知,自主建構

      1、抽象角,認識角的各部分名稱

      (1) 從實物中感知角

      (出示多媒體畫面)調皮的角娃娃就藏在這些物體中,你能把它們找出來嗎?比比,誰的眼睛最亮。

      誰來說說,你從哪里找到了角?引導學生在物體表面找到角并指一指。

      (2)抽象角

      老師也從這些物體上找到了一些角,并把它們畫了下來。指出:象這樣的圖形都是角。

      [教學設想:充分利用學生已有的生活經驗,讓學生在實物上找角,在學生直觀認識的基礎上,抽象出角的圖形]

      2、認識角各部分的名稱

      (1)請小朋友用尖尖的地方戳一下手心,有什么感覺?(尖尖的)再用手摸一摸它的兩條線,有什么感覺?(直直的)

      (2)那你知道這個尖尖的地方和直直的線叫什么嗎?它們就藏在數學書的第68頁里面,趕快去找一找吧。

      (3)小結:角有一個頂點和兩條邊。

      [教學設想:充分利用學生已有的生活經驗,從觀察實物到抽象出角、認識角的各部分,這個環節從直觀形象到抽象,幫助學生在厚實的感性經驗的支撐下深刻的建立起角的表象,切合兒童思維特點,同時蘊含了數學從生活中來的大數學觀。]

      (4)你能指出這幾個角的頂點和邊嗎?

      3、判斷比較,深化表象

      談話:聽說我們在認識角,課堂上來了一些小客人,都爭著說自己是角,誰能來判斷一下。

      (1)你能指出這些圖形中哪些是角?那些不是角嗎?

      (2)角藏在我們生活的每一個角落,找一找,在我們的周圍還有哪些物體的表面也有角?

      [教學設想:在抽象出角的圖形后引導學生回到生活情境中,在找角過程中豐富對角的表象的積累,使學生進一步感受數學與日常生活的密切聯系。

      4、制作角,感悟角有大小

      (1) 嘗試操作,實踐體驗

      談話:角在我們的生活中到處可見,想不想親手做個角呢?趕快動手試一試吧!

      老師給你們準備了一些材料(兩根小棒、兩根硬紙條、一段毛線、一張圓形的紙),請你們根據自己的需要用老師提供的`材料或者身邊的物體創造一個角,比一比哪一組想出的方法的多。(小組合作,教師巡視)(2)成果展示以小組為單位,誰來介紹一下你做的角?(將所做的角用實物投影展示出來。

      (3)感知角有大小

      師:小朋友們都有一雙巧巧手做出了各種各樣的角,老師也做了一個角,老師的這個角還會變呢?你能使這個角變大些或者變小些嗎?(同桌用自己做的角互相演示一下)怎樣使角變大些?變小些?

      (4)從這里我們可以發現,要使角變大些,只要怎樣?要使角變小些,只要怎樣?因此,角的大小與什么有關系?

      [教學設想:聽過了,便忘記了,看過了,便記住了,做過了,真正掌握了,通過親自操作,學生獲得了自己去探索數學的體驗,培養了學生的探索意識。以小組為單位做角、展示角,讓學生參與了合作與交流的活動,在交流中學生認識到做角的方法是多種多樣的,初步體驗了解決問題策略的多樣性。]

      5、比較角的大小

      問:現在你能比較角的大小了嗎?

      (1) 直接比較,引導觀察

      這里有四個鐘面,時針和分針形成了大小不同的角,你能看出哪個角最大?哪個角最小嗎?

      (2)自主探究,誘發思考

      問:剩下的這兩個角誰大呢?你能想辦法比較出它們的大小嗎?

      (3)和同桌的小朋友互相討論。

      (4)你知道還有什么方法可以比較出角的大小嗎?

      師:小朋友,真了不起,想出了這么多比較角的大小的方法。

      [教學設想:在教師的引導下,學生充分合作,互相取長補短。學生上臺交流自己的辦法,不僅鍛煉了口頭表達能力,而且教師和同學的肯定,使自身獲得了成功的體驗,關注了學生的情感、態度、價值觀]

      三、 綜合應用, 鞏固深化

      師:角娃娃真調皮,現在它有躲到小朋友的課本里去了,你能把它們找出來嗎?

      1、想想做做3題

      (1)獨立完成,集體交流。

      (2)引導思考,根據你看到的圖形和填出的答案,想一想,你發現了什么?你能根據自己的發現推想出三角形有幾條邊、幾個角嗎?

      2、 想想做做2

      獨立完成,集體交流。

      3、 出示智多星,你知道這顆星星上有幾個角嗎?

      四、 課堂總結,拓展延伸

      1、 通過這節課的學習?你有哪些收獲?

      2、 看到小朋友這么聰明,角朋友非常高興,要送給大家一把金剪子,請你回家試著把一張長方形的紙剪掉一個角,看還剩幾個角,比一比,誰的剪法多,好嗎?

      [設計意圖]

      1、注意結合學生的年齡特征,創設情境,讓學生產生探究的欲望。在教學開始,用低年級兒童感興趣的故事情境導入新課,把問題隱藏在情境中,使學生感到生動有趣,產生探究的欲望。通過情境的創設,使學生在愉悅的氛圍中學習了知識,營造了良好的課堂氣氛,使整個課堂也充滿了活力。

      2、注重動手操作,自主探索,合作交流,讓學生經歷探究的過程。在本節課中,教師注意聯系學生的生活經驗和活動經驗,引導學生主動參與、經歷知識的形成和探究過程。首先,注重為學生創設自主探索的空間,學生通過摸一摸、看一看、找一找、做一做,在各種感官協調合作下初步認識角。其次,注重倡導合作交流的學習方式,學生通過分組合作討論,全班展示交流,體會到解決問題策略的多樣性,既保護了學生的求異思維,又在交流中深化了對角的認識。

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