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上學(xué)期 2.3 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性

時間：2022-08-17 03:30:48 高一數(shù)學(xué)教案我要投稿

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教學(xué)目標(biāo)

　　1.使學(xué)生了解奇偶性的概念,回會利用定義判斷簡單函數(shù)的奇偶性.

　　2.在奇偶性概念形成過程中,培養(yǎng)學(xué)生的觀察,歸納能力,同時滲透數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法.

　　3.在學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的同時,激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生樂于求索的精神.

教學(xué)重點,難點

　　重點是奇偶性概念的形成與函數(shù)奇偶性的判斷

　　難點是對概念的認(rèn)識

教學(xué)用具

　　投影儀,計算機

教學(xué)方法

　　引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法

教學(xué)過程

一. 引入新課

　　前面我們已經(jīng)研究了函數(shù)的單調(diào)性,它是反映函數(shù)在某一個區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化而變化的性質(zhì),今天我們繼續(xù)研究函數(shù)的另一個性質(zhì).從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數(shù)的性質(zhì).

　　對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數(shù)學(xué)中也能發(fā)現(xiàn)很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學(xué)的內(nèi)容中,特別是函數(shù)中有沒有對稱問題呢?

　　(學(xué)生可能會舉出一些數(shù)值上的對稱問題,等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生把函數(shù)具體化,如和等.)

　　結(jié)合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關(guān)于軸對稱和關(guān)于原點對稱問題,而我們還曾研究過關(guān)于軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱的嗎?

　　學(xué)生經(jīng)過思考,能找出原因,由于函數(shù)是映射,一個只能對一個,而不能有兩個不同的,故函數(shù)的圖象不可能關(guān)于軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關(guān)于軸對稱和關(guān)于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數(shù)值上的規(guī)律.

二. 講解新課

　　2.函數(shù)的奇偶性(板書)

　　教師從剛才的圖象中選出,用計算機打出,指出這是關(guān)于軸對稱的圖象,然后問學(xué)生初中是怎樣判斷圖象關(guān)于軸對稱呢?(由學(xué)生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時教師明確提出研究方向:今天我們將從數(shù)值角度研究圖象的這種特征體現(xiàn)在自變量與函數(shù)值之間有何規(guī)律?

　　學(xué)生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數(shù),函數(shù)值相等.教師可引導(dǎo)學(xué)生先把它們具體化,再用數(shù)學(xué)符號表示.(借助課件演示令比較得出等式,再令,得到,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內(nèi)存在,使與不等呢?(可用課件幫助演示讓動起來觀察,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,這樣的是不存在的)

　　從這個結(jié)論中就可以發(fā)現(xiàn)對定義域內(nèi)任意一個,都有成立.最后讓學(xué)生用完整的語言給出定義,不準(zhǔn)確的地方教師予以提示或調(diào)整.

　　(1) 偶函數(shù)的定義:如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有,那么就叫做偶函數(shù).(板書)

　　(給出定義后可讓學(xué)生舉幾個例子,如等以檢驗一下對概念的初步認(rèn)識)

　　提出新問題:函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,它的自變量與函數(shù)值之間的數(shù)值規(guī)律是什么呢?(同時打出或的圖象讓學(xué)生觀察研究)

　　學(xué)生可類比剛才的方法,很快得出結(jié)論,再讓學(xué)生給出奇函數(shù)的定義.

　　(2) 奇函數(shù)的定義: 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有,那么就叫做奇函數(shù).(板書)

　　(由于在定義形成時已經(jīng)有了一定的認(rèn)識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認(rèn)識)

　　例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)

　　(1); (2);

　　(3);　　　;

　　(5); (6).

　　(要求學(xué)生口答,選出1-2個題說過程)

　　解: (1)是奇函數(shù).(2) 是偶函數(shù).

　　(3),是偶函數(shù).

　　前三個題做完,教師做一次小結(jié),判斷奇偶性,只需驗證與之間的關(guān)系,但對你們的回答我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數(shù)的問題呢?

　　學(xué)生經(jīng)過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明與不等.如即可說明它不是偶函數(shù).(從這個問題的解決中讓學(xué)生再次認(rèn)識到定義中任意性的重要)

　　從(4)題開始,學(xué)生的答案會有不同,可以讓學(xué)生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的=不能經(jīng)受任意性的考驗,當(dāng)時,由于,故不存在,更談不上與相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.

　　教師由此引導(dǎo)學(xué)生,通過剛才這個題目,你發(fā)現(xiàn)在判斷中需要注意些什么?(若學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了定義域的特征,教師可再從定義啟發(fā),在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,從而發(fā)現(xiàn)定義域應(yīng)關(guān)于原點對稱,再提出定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的什么條件?

　　可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結(jié)論.

　　(3) 定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)

　　由學(xué)生小結(jié)判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數(shù)中有是奇函數(shù)不是偶函數(shù),有是偶函數(shù)不是奇函數(shù),也有既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),那么有沒有這樣的函數(shù),它既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)呢?若有,舉例說明.

　　經(jīng)學(xué)生思考,可找到函數(shù).然后繼續(xù)提問:是不是具備這樣性質(zhì)的函數(shù)的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?

　　例2. 已知函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),求證: .(板書) (試由學(xué)生來完成)

　　證明:既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),

　　=,且,

　　,即.

　　證后,教師請學(xué)生記住結(jié)論的同時,追問這樣的函數(shù)應(yīng)有多少個呢?學(xué)生開始可能認(rèn)為只有一個,經(jīng)教師提示可發(fā)現(xiàn), 只是解析式的特征,若改變函數(shù)的定義域,如,,,,它們顯然是不同的函數(shù),但它們都是既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).由上可知函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類

　　(4) 函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)

　　例3. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)

　　(1); (2); (3).

　　由學(xué)生回答,不完整之處教師補充.

　　解: (1)當(dāng)時,為奇函數(shù),當(dāng)時, 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

　　(2)當(dāng)時, 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),當(dāng)時, 是偶函數(shù).

　　(3) 當(dāng)時,于是,

　　當(dāng)時,,于是=,

　　綜上是奇函數(shù).

　　教師小結(jié) (1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數(shù),當(dāng)檢驗,并不能說明具備奇偶性,因為奇偶性是對函數(shù)整個定義域內(nèi)性質(zhì)的刻畫,因此必須均有成立,二者缺一不可.

三. 小結(jié)

　　1. 奇偶性的概念