正多邊形的計算

正多邊形的有關(guān)計算

教學(xué)設(shè)計示例1

　　教學(xué)目標(biāo)：

　�。�1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關(guān)的計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；

　�。�2）鞏固學(xué)生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運算能力；

　�。�3）通過正多邊形有關(guān)計算公式的推導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新．

　　教學(xué)重點:

　　把正多邊形的有關(guān)計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．

　　教學(xué)難點:

　　正確地將正多邊形的有關(guān)計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準(zhǔn)確計算．

　　教學(xué)活動設(shè)計:

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情境、觀察、分析、歸納結(jié)論

　　1、情境一：給出圖形．

　　問題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律．

　　觀察：在圖形中，應(yīng)用以有的知識（多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每個內(nèi)角都相等）得出新結(jié)論．

　　教師組織學(xué)生自主觀察，學(xué)生回答．（正n邊形的每個內(nèi)角都等于 ．）

　　2、情境二：給出圖形．

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規(guī)律？

　　教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生回答．

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數(shù)．

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形．

　　3、情境三：給出圖形．

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的．

　�。ǘ�）定理、理解、應(yīng)用：

　　1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形．

　　2、理解：定理的實質(zhì)是把正多邊形的問題向直角三角形轉(zhuǎn)化．

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距r_n，另一條直角邊是正n邊形邊長a_n的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關(guān)計算歸結(jié)為解直角三角形問題．

　　3、應(yīng)用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P₆和面積S₆．

　　教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路：

　　n=6 =30°，又半徑為R a₆ 、r₆． P₆、S₆．

　　學(xué)生完成解題過程，并關(guān)注學(xué)生解直角三角形的能力．

　　解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB．

　　∵∠GOB= ，

　　∴a₆ =2·Rsin30°=R，

　　∴P₆=6·a₆=6R，

　　∵r₆=Rcos30°= ，

　　∴ ．

　　歸納：如果用P_n表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S₆= P_n r_n．

　　4、研究：（應(yīng)用例1的方法進(jìn)一步研究）

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積．

　　學(xué)生以小組進(jìn)行研究，并初步歸納：

　　 ； ； ； ；

　　 ； ．

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的．

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了．例如：(1)圓的半徑或邊數(shù)；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素．

　　（三）小節(jié)

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題．

　　思想：轉(zhuǎn)化思想．

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力．

　�。ㄋ模┳鳂I(yè)

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計算公式．
教學(xué)設(shè)計示例2

　　教學(xué)目標(biāo)：

　�。�1）進(jìn)一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應(yīng)用問題；

　�。�2）通過正十邊形的邊長a₁₀與半徑R的關(guān)系的證明，學(xué)習(xí)邊計算邊推理的數(shù)學(xué)方法；

　　（3）通過解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生簡單的數(shù)學(xué)建模能力；

　　（4）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識，滲透理論聯(lián)系實際、實踐論的觀點．

　　教學(xué)重點:

　　應(yīng)用正多邊形的基本計算圖解決實際應(yīng)用問題及代數(shù)計算的證明方法．

　　教學(xué)難點:

　　例3的證明方法．

　　教學(xué)活動設(shè)計：

　�。ㄒ唬┲�識回顧

　�。�1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關(guān)計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．

　　（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計算問題，正多邊形的有關(guān)計算．

　　 ； ； ； ；

　　 ； ．

　　組織學(xué)生填寫教材P165練習(xí)中第2題的表格．

　�。ǘ�）正多邊形的應(yīng)用

　　正多邊形的有關(guān)計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會用到，掌握后對學(xué)生參加實踐活動具有實用意義．

　　例2、在一種聯(lián)合收割機(jī)上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R₅和邊心距r₅(精確到0.1cm)．

　　解：設(shè)正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R₅，OF=r₅，∠AOF= ．

　　∵AF= （cm），∴R₅= （cm）．

　　r₅= （cm）．

　　答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

　　建議：①組織學(xué)生，使學(xué)生主動參與教學(xué)；②滲透簡單的數(shù)學(xué)建模思想和實際應(yīng)用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學(xué)生的近似計算能力的培養(yǎng)．

　　以小組的學(xué)習(xí)形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內(nèi)交流．

　　 例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 ．

　　教師引導(dǎo)學(xué)生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數(shù)？

　�。�3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪些？你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關(guān)系？

　　（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？

　　解：如圖，設(shè)AB=a₁₀．作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．

　　∴OM=MB=AB= a₁₀．

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a₁₀= a₁₀:（R- a₁₀），整理，得

　　 ， （取正根）．

　　由例3的結(jié)論可得 ．

　　回顧：黃金分割線段．AD²=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項．頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段．

　　反思：解決方法．在推導(dǎo)a₁₀與R關(guān)系時，輔助線角平分線是怎么想出來的．解決方法是復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識．

　　練習(xí)P.165中練習(xí)1

　　(三)總結(jié)

　�。�1）應(yīng)用正多邊形的有關(guān)計算解決實際問題；

　　（2）綜合代數(shù)列方程的方法證明了 ．

　�。ㄋ模┳鳂I(yè)

　　教材P173中8、9、10、11、12．

探究活動

　　已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大�。�

　　探究它們存在什么規(guī)律？你能證明嗎？

　�。ㄌ崾荆� ．）

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