數(shù)學(xué)教案－圓

第二課時(shí)：圓（二）

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1、使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念；初步會運(yùn)用這些概念判斷真假命題。

　　2、逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材、親自動手實(shí)踐，總結(jié)出新概念的能力；進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)

　　生觀察、比較、分析、概括知識的能力。

　　3、通過動手、動腦的全過程，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動獲得知識。

　　教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

　　1、重點(diǎn)：理解圓的有關(guān)概念．

　　2、難點(diǎn)：對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解．

　　3、疑點(diǎn)：學(xué)生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學(xué)生閱讀教材、理解、交流和與教師對話交流中排除疑難。

　　教學(xué)過程（www.baimashangsha.com）設(shè)計(jì)：

　　（一）閱讀、理解

　　重點(diǎn)概念：

　　1、弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．

　　2、直徑：經(jīng)過圓心的弦是直徑．

　　3、圓弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧．簡稱弧．

　　半圓弧：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓；

　　優(yōu)弧：大于半圓的弧叫優(yōu)弧；

　　劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧．

　　4、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．

　　5、同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓．

　　6、等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．

　　7、等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．

　　（二）小組交流、師生對話

　　問題：

　　1、一個(gè)圓有多少條弦？最長的弦是什么？

　　2、弧分為哪幾種？怎樣表示？

　　3、弓形與弦有什么區(qū)別？在一個(gè)圓中一條弦能得到幾個(gè)弓形？

　　4、在等圓、等弧中，“互相重合”是什么含義？

　　（通過問題，使學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與老師進(jìn)行交流、學(xué)習(xí)，加深對概念的理解，排除疑難）

　　（三）概念辨析：

　　判斷題目：

　　（1）直徑是弦（ ）　　　　　　　　（2）弦是直徑（ ）

　　（3）半圓是弧（ ）　　　　　　　　（4）弧是半圓（ ）

　　（5）長度相等的兩段弧是等弧（ ）　（6）等弧的長度相等（ ）

　　（7）兩個(gè)劣弧之和等于半圓（）　（8）半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧（）

　　（主要理解以下概念：（1）弦與直徑；（2）弧與半圓；（3）同心圓、等圓指兩個(gè)圖形；（4）等圓、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用．）

　　（四）應(yīng)用、練習(xí)

　　例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有弧．

　　解：一共有6條弧． 、 、 、 、 、 ．

　　（目的：讓學(xué)生會表示弧，并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念）

　　例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑．求證：AD∥BC．

　　（由學(xué)生分析，學(xué)生寫出證明過程，學(xué)生糾正存在問題．鍛煉學(xué)生動口、動腦、動手實(shí)踐能力，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動獲得知識．）

　　鞏固練習(xí)：

　　教材P₆₆練習(xí)中2題(學(xué)生自己完成)．

　　（五）小結(jié)

　　教師引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié)：

　　1、本節(jié)所學(xué)似的知識點(diǎn)；

　　2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半圓；③同心圓、等圓指兩個(gè)圖形；④等圓和等弧．

　　3、弧的表示方法．

　　（六）作業(yè)

　　教材P₆₆練習(xí)中3題，P₈₂習(xí)題l(3)、(4)．

第三、四課時(shí)　圓（三）——點(diǎn)的軌跡

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1、在了解用集合的觀點(diǎn)定義圓的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步使學(xué)生了解軌跡的有關(guān)概念以及熟悉五種常用的點(diǎn)的軌跡；

　　2、培養(yǎng)學(xué)生從形象思維向抽象思維的過渡；

　　3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，反過來又作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)的認(rèn)識。

　　重點(diǎn)、難點(diǎn)

　　1、重點(diǎn)：對圓點(diǎn)的軌跡的認(rèn)識。

　　2、難點(diǎn)：對點(diǎn)的軌跡概念的認(rèn)識，因?yàn)檫@個(gè)概念比較抽象。

　　教學(xué)活動設(shè)計(jì)（在老師與學(xué)生的交流對話中完成教學(xué)目標(biāo)）

　　（一）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

　　1、對“圓”的形成觀察——理解——引出軌跡的概念

　　（使學(xué)生在老師的引導(dǎo)下從感性知識到理性知識）

　　觀察：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的的點(diǎn)的集合；（電腦動畫）

　　理解：圓上的點(diǎn)具有兩個(gè)性質(zhì)：

　　 (1)圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r)；

　　(2)到定點(diǎn)距離等于定長的的點(diǎn)都在圓上；（結(jié)合下圖）

　　引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上．（軌跡的概念非常抽象，是教學(xué)的難點(diǎn)，這里教師要精講，細(xì)講）

　　上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合．因此“到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡”是圓．

　　軌跡1：“到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓”。（研究圓是軌跡概念的切入口、基礎(chǔ)和關(guān)鍵）

　　（二）類比、研究1

　　（在老師指導(dǎo)下，通過電腦動畫，學(xué)生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識）

　　軌跡2：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；

　　軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線；

　　（三）鞏固概念

　　練習(xí)：畫圖說明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：

　　(1)到定點(diǎn)A的距離等于3cm的點(diǎn)的軌跡；

　　(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡；

　　(3)經(jīng)過已知點(diǎn)A、B的圓O，圓心O的軌跡．

　　（A層學(xué)生獨(dú)立畫圖，回答滿足這個(gè)條件的軌跡是什么?歸納出每一個(gè)題的點(diǎn)的軌跡屬于哪一個(gè)基本軌跡；B、C層學(xué)生在老師的指導(dǎo)或帶領(lǐng)下完成）

　　（四）類比、研究2

　　（這是第二次“類比”，目的：使學(xué)生的知識和能力螺旋上升．這次通過電腦動畫，使A層學(xué)生自己做，進(jìn)一步提高學(xué)生歸納、整理、概括、遷移等能力）

　　軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

　　軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線．

　　（五）鞏固訓(xùn)練

　　練習(xí)題1：畫圖說明滿足下面條件的點(diǎn)的軌跡： 

　　1．到直線l的距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡；

　　2．已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點(diǎn)的軌跡．

　　（A層學(xué)生獨(dú)立畫圖探索；然后回答出點(diǎn)的軌跡是什么，對B、C層學(xué)生回答有一定的困難，這時(shí)教師要從規(guī)律上和方法上指導(dǎo)學(xué)生）

　　練習(xí)題2：判斷題

　　1、到一條直線的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線．(　)

　　2、和點(diǎn)B的距離等于5cm的點(diǎn)的軌跡，是到點(diǎn)B的距離等于5cm的圓．(　)

　　3、到兩條平行線的距離等于8cm的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線．(　)

　　4、底邊為a的等腰三角形的頂點(diǎn)軌跡，是底邊a的垂直平分線．(　)

　　(這組練習(xí)題的目的，訓(xùn)練學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和語言表達(dá)的正確性．題目由學(xué)生自主完成、交流、反思)

　　(教材的練習(xí)題、習(xí)題即可，因?yàn)檫@部分知識屬于選學(xué)內(nèi)容，而軌跡概念又比較抽象，不要對學(xué)生要求太高，了解就行、理解就高要求)

　　（六）理解、小結(jié)

　　（1）軌跡的定義兩層意思；

　　（2）常見的五種軌跡。

　　（七）作業(yè)

　　教材P₈₂習(xí)題2、6．

探究活動

愛爾特希問題

　　在平面上有四個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都可以構(gòu)成等腰三角形，你能找到這樣的四點(diǎn)嗎?

　　分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應(yīng)以如何構(gòu)造出這樣的點(diǎn)來考慮．最容易想到的是，使一個(gè)點(diǎn)到另三個(gè)點(diǎn)等距離，換句話說，以一個(gè)點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓，其他三個(gè)點(diǎn)在此圓上尋找，只要使這圓上的三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.

　　其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個(gè)頂點(diǎn)(見圖中第3個(gè)圖).

　　最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實(shí)際上，只要將任一圓周5等分，取其中任意四點(diǎn)即可(見圖中的第4個(gè)圖)．

　　綜上所述，符合題意的四點(diǎn)有且僅有三種構(gòu)形：①任意等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及其外接圓圓心(即外心)；②任意菱形的4個(gè)頂點(diǎn)；③任意正五邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)．

　　上述問題是大數(shù)學(xué)家愛爾特希(P．Erdos)提出的：“在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形”中n＝4的情形．

　　當(dāng)n＝3、4、5、6時(shí)，愛爾特希問題都有解．已經(jīng)證明，時(shí)，問題無解．