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一元二次方程的應(yīng)用（三） —— 初中數(shù)學(xué)第一冊教案
12．6 一元二次方程的應(yīng)用（三）
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識教學(xué)點(diǎn)：使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識．
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1．教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)會用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
2．教學(xué)難點(diǎn)：有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴(kuò)大，擴(kuò)大到，擴(kuò)大了．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)．
（二）整體感知
（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量．
（2）單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率．
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量×（1+增長率）．
2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增長的百分率是多少？
分析：設(shè)平均每月的增長率為x．
則2月份的產(chǎn)量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．
3月份的產(chǎn)量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（噸）．
解：設(shè)平均每月的增長率為x，據(jù)題意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2．
x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．
取x=0.2=20％．
教師引導(dǎo)，點(diǎn)撥、板書，學(xué)生回答．
注意以下幾個(gè)問題：
（1）為計(jì)算簡便、直接求得，可以直接設(shè)增長的百分率為x．
（2）認(rèn)真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到等詞語的關(guān)系．
（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．
練習(xí)1．教材P.42中5．
學(xué)生分析題意，板書，筆答，評價(jià)．
練習(xí)2．若設(shè)每年平均增長的百分?jǐn)?shù)為x，分別列出下面幾個(gè)問題的方程．
（1）某工廠用二年時(shí)間把總產(chǎn)值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．
（1+x）2=b（把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
（2）某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分?jǐn)?shù)．
（a（1+x）2=b）
（3）某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值增加了原來的b倍，求每年增長的百分?jǐn)?shù)．
（（1+x）2=b+1把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
以上學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)下面的規(guī)律：
設(shè)某產(chǎn)量原來的產(chǎn)值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產(chǎn)值為a（1+x），增長兩次后的產(chǎn)值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產(chǎn)值為S=a（1+x）n．
規(guī)律的得出，使學(xué)生對此類問題能居高臨下，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力．
例2 某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384元，如果兩個(gè)降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降價(jià)百分之幾？
分析：設(shè)每次降價(jià)為x．
第一次降價(jià)后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降價(jià)后，每件為600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）．
解：設(shè)每次降價(jià)為x，據(jù)題意得
600（1-x）2=384．
答：平均每次降價(jià)為20％．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析完畢，學(xué)生板書，筆答，評價(jià)，對比，總結(jié)．
引導(dǎo)學(xué)生對比“增長”、“下降”的區(qū)別．如果設(shè)平均每次增長或下降為x，則產(chǎn)值a經(jīng)過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
1．善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，嚴(yán)格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系，正確布列方程．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法．
2．在解方程時(shí)，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．
3．我們只學(xué)習(xí)一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應(yīng)該說按照規(guī)律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．
四、布置作業(yè)
教材P.42中A8
五、板書設(shè)計(jì)
12.6 一元二次方程應(yīng)用（三）
1．?dāng)?shù)量關(guān)系： 例1…… 例2……
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量 分析：…… 分析……
（2）單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率 解…… 解……
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）
2．最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長率、時(shí)間
的基本關(guān)系：
M=m（1+x）n n為時(shí)間
M為最后產(chǎn)量，m為基數(shù)，x為平均增長率
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識教學(xué)點(diǎn)：使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識．
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1．教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)會用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題．
2．教學(xué)難點(diǎn)：有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴(kuò)大，擴(kuò)大到，擴(kuò)大了．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)．
（二）整體感知
（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量．
（2）單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率．
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量×（1+增長率）．
2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增長的百分率是多少？
分析：設(shè)平均每月的增長率為x．
則2月份的產(chǎn)量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．
3月份的產(chǎn)量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（噸）．
解：設(shè)平均每月的增長率為x，據(jù)題意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2．
x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．
取x=0.2=20％．
教師引導(dǎo)，點(diǎn)撥、板書，學(xué)生回答．
注意以下幾個(gè)問題：
（1）為計(jì)算簡便、直接求得，可以直接設(shè)增長的百分率為x．
（2）認(rèn)真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到等詞語的關(guān)系．
（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．
練習(xí)1．教材P.42中5．
學(xué)生分析題意，板書，筆答，評價(jià)．
練習(xí)2．若設(shè)每年平均增長的百分?jǐn)?shù)為x，分別列出下面幾個(gè)問題的方程．
（1）某工廠用二年時(shí)間把總產(chǎn)值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．
（1+x）2=b（把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
（2）某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分?jǐn)?shù)．
（a（1+x）2=b）
（3）某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值增加了原來的b倍，求每年增長的百分?jǐn)?shù)．
（（1+x）2=b+1把原來的總產(chǎn)值看作是1．）
以上學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)下面的規(guī)律：
設(shè)某產(chǎn)量原來的產(chǎn)值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產(chǎn)值為a（1+x），增長兩次后的產(chǎn)值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產(chǎn)值為S=a（1+x）n．
規(guī)律的得出，使學(xué)生對此類問題能居高臨下，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力．
例2 某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384元，如果兩個(gè)降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降價(jià)百分之幾？
分析：設(shè)每次降價(jià)為x．
第一次降價(jià)后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降價(jià)后，每件為600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）．
解：設(shè)每次降價(jià)為x，據(jù)題意得
600（1-x）2=384．
答：平均每次降價(jià)為20％．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析完畢，學(xué)生板書，筆答，評價(jià)，對比，總結(jié)．
引導(dǎo)學(xué)生對比“增長”、“下降”的區(qū)別．如果設(shè)平均每次增長或下降為x，則產(chǎn)值a經(jīng)過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
1．善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，嚴(yán)格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系，正確布列方程．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法．
2．在解方程時(shí)，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．
3．我們只學(xué)習(xí)一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應(yīng)該說按照規(guī)律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．
四、布置作業(yè)
教材P.42中A8
五、板書設(shè)計(jì)
12.6 一元二次方程應(yīng)用（三）
1．?dāng)?shù)量關(guān)系： 例1…… 例2……
（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量 分析：…… 分析……
（2）單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率 解…… 解……
（3）實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）
2．最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長率、時(shí)間
的基本關(guān)系：
M=m（1+x）n n為時(shí)間
M為最后產(chǎn)量，m為基數(shù)，x為平均增長率
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